Sabendo-se que, para o mercúrio, a 20^circ C e 1 atm:
alphaP=3,6 times 10^-3 K^-1 betaT=3,8 times 10^-6 atm^-1 rho=13,6 g ml^-1
calcule o trabalho efetuado sobre uma gota de mercúrio de 1 g que é submetida a uma elevação gradual de pressão desde 1 atm até 1000 atm , considerando que a temperatura, a densidade e os coeficientes térmicos permaneçam constantes.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que fala sobre mercúrio em condições específicas: a 20°C e 1 atm de pressão. A gente vai calcular o trabalho feito sobre uma gota de mercúrio de 1 grama quando a pressão aumenta de 1 atm até 1000 atm. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica, como coeficientes de expansão térmica e compressibilidade, além de usar a densidade do mercúrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W = integralP1^P2 V , dP feito quando a pressão muda é dado por:
Aqui, é o volume da gota de mercúrio e e são as pressões inicial e final, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o volume inicial rho = mV da gota de 1 grama, usamos a densidade V = mrho :
V1 = 1 , g13,6 , g/ml approx 0,0735 , ml
Rearranjando para :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos considerar como o volume muda quando a pressão aumenta. Para isso, usamos o coeficiente de compressibilidade isoterma dVdP = -betaT V :
Isso significa que o volume diminui quando a pressão aumenta, e a taxa dessa diminuição é proporcional a .

Passo 5

Vamos substituir W = integralP1^P2 V , dP na integral do trabalho:
W = -integralP1^P2 dVbetaT
Usando a relação de compressibilidade:
W = -(V2 - V1)betaT
Integrando isso, temos:
W = V1 (P2 - P1)
Mas como é constante, e considerando que o volume final pode ser aproximado como devido à baixa compressibilidade do mercúrio, simplificamos a expressão para:

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos:
W = 0,0735 , ml times (1000 , atm - 1 , atm)
W = 0,0735 , ml times 999 , atm
W approx 73,4265 , ml cdot atm

Resposta

O trabalho efetuado sobre a gota de mercúrio é aproximadamente 73,43 ml·atm.

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