Mostre que
Passo 1
O exercício pede para mostrarmos que a derivada do produto de quatro funções,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos ajuda a derivar expressões onde múltiplas funções estão multiplicadas entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do produto para duas funções. Se temos duas funções,
e
, a derivada do produto delas é dada por:
Essa regra nos diz que a derivada do produto é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa regra para três funções. Seja
e
. Então, a derivada de
será:
Sabemos que
(usando a regra do produto novamente para
). Substituindo na expressão:
Explicando, derivamos
primeiro e multiplicamos por
, depois adicionamos
multiplicado pela derivada de
.
Passo 4
Agora, temos a expressão:
Mas ainda falta derivar em relação a
, já que nossa função original é
. Vamos tratar
como uma única função
e
como
. Aplicando a regra do produto novamente:
Substituindo o que já encontramos para
:
Passo 5
Distribuindo o
na expressão acima, obtemos:
Isso confirma que a derivada do produto das quatro funções
é igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
A posição de um objeto no tempo
é dada por
a) Determine a velocidade do objeto no tempo .
a) Determine a velocidade do objeto no tempo
Encontre as derivadas das seguintes funções
y)
y)
Derive as seguintes funções:
c) .
c)
Derive as seguintes funções:
j)
j)