Mostre que

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que a derivada do produto de quatro funções, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos ajuda a derivar expressões onde múltiplas funções estão multiplicadas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do produto para duas funções. Se temos duas funções, e , a derivada do produto delas é dada por:
Essa regra nos diz que a derivada do produto é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra para três funções. Seja e . Então, a derivada de será:
Sabemos que (usando a regra do produto novamente para ). Substituindo na expressão:
Explicando, derivamos primeiro e multiplicamos por , depois adicionamos multiplicado pela derivada de .

Passo 4

Agora, temos a expressão:
Mas ainda falta derivar em relação a , já que nossa função original é . Vamos tratar como uma única função e como . Aplicando a regra do produto novamente:
Substituindo o que já encontramos para :

Passo 5

Distribuindo o na expressão acima, obtemos:
Isso confirma que a derivada do produto das quatro funções é igual a .

Resposta

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A posição de um objeto no tempo é dada por
a) Determine a velocidade do objeto no tempo .
Encontre as derivadas das seguintes funções
y)
Derive as seguintes funções:
c) .
Derive as seguintes funções:
j)