Mostre que dada por é injetora, sobrejetora e ache a inversa.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma função definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa função é injetora e sobrejetora, além de encontrar sua inversa.
Conteúdo da matéria:
  • Funções Injetoras (Um-para-um): Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes do contradomínio.
  • Funções Sobrejetoras (Sobre): Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
  • Função Inversa: A função inversa “desfaz” a função original, ou seja, .
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre definição de funções injetoras e sobrejetoras.
  • Técnicas para verificar injetividade e sobrejetividade.
  • Método para encontrar a função inversa.

Passo 2

Verificando se é injetora:
Para provar que uma função é injetora, precisamos mostrar que se , então .
Vamos supor que :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Como chegamos a a partir de , isso confirma que a função é injetora.
Teoria aplicada:
Quando a única solução para é , a função é injetora.

Passo 3

Verificando se é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se, para todo no contradomínio , existe pelo menos um em tal que .
Vamos resolver :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Para qualquer em , existe um que satisfaz . Portanto, a função é sobrejetora.
Teoria aplicada:
A capacidade de resolver para qualquer no contradomínio mostra que a função é sobrejetora.

Passo 4

Encontrando a função inversa :
A função inversa desfaz a ação de . Para encontrar , resolvemos para .
Vamos fazer isso:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Portanto, a função inversa é:
Teoria aplicada:
Para encontrar a inversa, isolamos na equação .

Resposta

A função é injetora e sobrejetora. Sua função inversa é dada por:

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