Mostre que
dada por
é injetora, sobrejetora e ache a inversa.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos uma função
definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa função é injetora e sobrejetora, além de encontrar sua inversa.
Conteúdo da matéria:
- Funções Injetoras (Um-para-um): Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes do contradomínio.
- Funções Sobrejetoras (Sobre): Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
- Função Inversa: A função inversa “desfaz” a função original, ou seja,
.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre definição de funções injetoras e sobrejetoras.
- Técnicas para verificar injetividade e sobrejetividade.
- Método para encontrar a função inversa.
Passo 2
Verificando se
é injetora:
Para provar que uma função é injetora, precisamos mostrar que se
, então
.
Vamos supor que
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Como chegamos a
a partir de
, isso confirma que a função
é injetora.
Teoria aplicada:
Quando a única solução para é
, a função é injetora.
Quando a única solução para
Passo 3
Verificando se
é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se, para todo
no contradomínio
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Vamos resolver
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Para qualquer
em
, existe um
que satisfaz
. Portanto, a função
é sobrejetora.
Teoria aplicada:
A capacidade de resolver para qualquer
no contradomínio mostra que a função é sobrejetora.
A capacidade de resolver
Passo 4
Encontrando a função inversa
:
A função inversa desfaz a ação de
. Para encontrar
, resolvemos
para
.
Vamos fazer isso:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Portanto, a função inversa é:
Teoria aplicada:
Para encontrar a inversa, isolamos na equação
.
Para encontrar a inversa, isolamos
Resposta
A função
é injetora e sobrejetora. Sua função inversa é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
. Existe algum número real
tal que
? Considere a função
. A função
assume valor máximo? Porquê?
Determinar a de modo que a divisão de
por
tenha resto - 2.
Determine
para que
seja divisível por
.
Para quais valores de
e
o polinômio
é divisivel por
?