Mostre que se f(t) é contínua por partes e existem k>0 e M>0 tais que
|f(t)| <= M e^k t, para todo t>0
então existe a transformada de Laplace de f(t), L(f(t))=F(s), definida para s>k, e além disso,
lim s infty F(s)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar duas coisas sobre a transformada de Laplace de uma função . Primeiro, que a transformada de Laplace existe quando (onde é um número positivo que a função está limitada por), e segundo, que o limite dessa transformada quando vai para o infinito é zero. Vamos usar conceitos de continuidade por partes e o comportamento assintótico da função para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
L(f(t)) = integral0^infty f(t) e^-s t dt
Para essa integral existir, precisa ser uma função que não “cresce muito” quando vai para o infinito, o que é garantido aqui pela condição com .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral da transformada de Laplace usando a desigualdade dada:
|f(t)| <= M e^k t
Multiplicando ambos os lados por |f(t)| e^-s t <= M e^(k - s) t , temos:
Para a integral convergir, o expoente precisa ser negativo, ou seja, .

Passo 4

Então, quando , a função decresce exponencialmente, garantindo que a integral da transformada de Laplace seja finita. Isso mostra que a transformada de Laplace existe para .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de F(s) = integral0^infty f(t) e^-s t dt quando tende ao infinito. Sabemos que:
Como aumenta, o termo decai mais rápido para zero para qualquer . Isso significa que, para valores grandes de , a contribuição de na integral se torna insignificante.

Passo 6

Formalmente, podemos dizer que:
lims to infty F(s) = lims to infty integral0^infty f(t) e^-s t dt = 0
Isso ocorre porque se aproxima de zero para todo conforme vai ao infinito, fazendo com que a integral total também tenda a zero.

Resposta

Assim, mostramos que a transformada de Laplace de existe para e que .

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