Mostre que se
é contínua por partes e existem
e
tais que
então existe a transformada de Laplace de
, definida para
, e além disso,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar duas coisas sobre a transformada de Laplace de uma função
. Primeiro, que a transformada de Laplace existe quando
(onde
é um número positivo que a função está limitada por), e segundo, que o limite dessa transformada quando
vai para o infinito é zero. Vamos usar conceitos de continuidade por partes e o comportamento assintótico da função para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
Para essa integral existir,
precisa ser uma função que não “cresce muito” quando
vai para o infinito, o que é garantido aqui pela condição
com
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral da transformada de Laplace usando a desigualdade dada:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para a integral
convergir, o expoente
precisa ser negativo, ou seja,
.
Passo 4
Então, quando
, a função
decresce exponencialmente, garantindo que a integral da transformada de Laplace seja finita. Isso mostra que a transformada de Laplace
existe para
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Como
aumenta, o termo
decai mais rápido para zero para qualquer
. Isso significa que, para valores grandes de
, a contribuição de
na integral se torna insignificante.
Passo 6
Formalmente, podemos dizer que:
Isso ocorre porque
se aproxima de zero para todo
conforme
vai ao infinito, fazendo com que a integral total também tenda a zero.
Resposta
Assim, mostramos que a transformada de Laplace de
existe para
e que
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
com
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.