Mostre que se é contínua por partes e existem e tais que
então existe a transformada de Laplace de , definida para , e além disso,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar duas coisas sobre a transformada de Laplace de uma função . Primeiro, que a transformada de Laplace existe quando (onde é um número positivo que a função está limitada por), e segundo, que o limite dessa transformada quando vai para o infinito é zero. Vamos usar conceitos de continuidade por partes e o comportamento assintótico da função para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
Para essa integral existir, precisa ser uma função que não “cresce muito” quando vai para o infinito, o que é garantido aqui pela condição com .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral da transformada de Laplace usando a desigualdade dada:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para a integral convergir, o expoente precisa ser negativo, ou seja, .

Passo 4

Então, quando , a função decresce exponencialmente, garantindo que a integral da transformada de Laplace seja finita. Isso mostra que a transformada de Laplace existe para .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que:
Como aumenta, o termo decai mais rápido para zero para qualquer . Isso significa que, para valores grandes de , a contribuição de na integral se torna insignificante.

Passo 6

Formalmente, podemos dizer que:
Isso ocorre porque se aproxima de zero para todo conforme vai ao infinito, fazendo com que a integral total também tenda a zero.

Resposta

Assim, mostramos que a transformada de Laplace de existe para e que .

Exercícios relacionados

Seja . Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
com
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.