Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace e suas propriedades, especialmente aquelas que lidam com exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a propriedade da transformada de uma função multiplicada por uma exponencial.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função é dada por . Sabemos que a transformada de é:
Isso é uma fórmula padrão que você pode lembrar ou derivar usando integrais.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
Isso significa que, quando multiplicamos nossa função por , basta substituir por na transformada da função original.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa função , temos:
Substituímos por na transformada de .

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Mostre que se é contínua por partes e existem e tais que
então existe a transformada de Laplace de , definida para , e além disso,
Seja . Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta: ;