Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função
. A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace e suas propriedades, especialmente aquelas que lidam com exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a propriedade da transformada de uma função multiplicada por uma exponencial.
Passo 2
A transformada de Laplace de uma função
é dada por
. Sabemos que a transformada de
é:
Isso é uma fórmula padrão que você pode lembrar ou derivar usando integrais.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
Isso significa que, quando multiplicamos nossa função por
, basta substituir
por
na transformada da função original.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa função
, temos:
Substituímos
por
na transformada de
.
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Mostre que se
é contínua por partes e existem
e
tais que
então existe a transformada de Laplace de
, definida para
, e além disso,
Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta:
;