Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' + y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1 com g(t) = { t, 0 <= t < 1; 1, t >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Transformadas de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau: , com condições iniciais e . A função é definida por partes, sendo para e constante igual a 1 para . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as Transformadas de Laplace e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , e a de é simplesmente . Então, aplicando isso:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Como é uma função definida por partes, podemos expressá-la usando a função degrau unitário . Então, podemos reescrever como:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Sabendo que , e utilizando o teorema do deslocamento, podemos calcular as outras transformadas.

Passo 4

Depois de calcular , substituímos de volta na equação transformada:
Resolvendo para :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Isso envolve decompor a expressão em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas para obter a solução no domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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