Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Transformadas de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau:
, com condições iniciais
e
. A função
é definida por partes, sendo
para
e constante igual a 1 para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as Transformadas de Laplace e como lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, e a de
é simplesmente
. Então, aplicando isso:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de
. Como
é uma função definida por partes, podemos expressá-la usando a função degrau unitário
. Então, podemos reescrever
como:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Sabendo que
, e utilizando o teorema do deslocamento, podemos calcular as outras transformadas.
Passo 4
Depois de calcular
, substituímos de volta na equação transformada:
Resolvendo para
:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Isso envolve decompor a expressão em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas para obter a solução no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva o problema de valor inicial:
Resposta:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resposta: .
Resposta:
Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Mostre que se
é contínua por partes e existem
e
tais que
então existe a transformada de Laplace de
, definida para
, e além disso,