Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
com

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Transformadas de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau: , com condições iniciais e . A função é definida por partes, sendo para e constante igual a 1 para . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as Transformadas de Laplace e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de é , e a de é simplesmente . Então, aplicando isso:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Como é uma função definida por partes, podemos expressá-la usando a função degrau unitário . Então, podemos reescrever como:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Sabendo que , e utilizando o teorema do deslocamento, podemos calcular as outras transformadas.

Passo 4

Depois de calcular , substituímos de volta na equação transformada:
Resolvendo para :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Isso envolve decompor a expressão em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas para obter a solução no domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial:
Resposta: .
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resposta: .
Seja . Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Mostre que se é contínua por partes e existem e tais que
então existe a transformada de Laplace de , definida para , e além disso,