Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das Transformadas de Laplace. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau:
, com condições iniciais
e
. A função
é definida por partes, sendo
para
e constante igual a 1 para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as Transformadas de Laplace e como lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, e a de
é simplesmente
. Então, aplicando isso:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de
. Como
é uma função definida por partes, podemos expressá-la usando a função degrau unitário
. Então, podemos reescrever
como:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
Sabendo que
, e utilizando o teorema do deslocamento, podemos calcular as outras transformadas.
Passo 4
Depois de calcular
, substituímos de volta na equação transformada:
Resolvendo para
:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Isso envolve decompor a expressão em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas para obter a solução no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é: