Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre Transformada de Laplace. A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace, como a transformação de funções exponenciais e o deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Sabemos que
, então podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, observamos que a função está multiplicada pela função de Heaviside
, que desloca a função para
. Isso significa que vamos utilizar a propriedade do deslocamento no tempo na Transformada de Laplace.
Passo 4
A propriedade do deslocamento no tempo diz que:
onde
é a transformada de Laplace de
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Primeiro, encontramos a transformada de
. Sabemos que:
Esta é uma aplicação direta da transformada de
, onde
.
Passo 6
Aplicando a propriedade do deslocamento:
Aqui, multiplicamos pela constante
que estava na expressão original de
.
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Podemos deixar a expressão dessa forma ou combinar os expoentes:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Mostre que se
é contínua por partes e existem
e
tais que
então existe a transformada de Laplace de
, definida para
, e além disso,
Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta:
;
Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria
.