Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre Transformada de Laplace. A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace, como a transformação de funções exponenciais e o deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Sabemos que , então podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, observamos que a função está multiplicada pela função de Heaviside , que desloca a função para . Isso significa que vamos utilizar a propriedade do deslocamento no tempo na Transformada de Laplace.

Passo 4

A propriedade do deslocamento no tempo diz que:
onde é a transformada de Laplace de . No nosso caso, e .

Passo 5

Primeiro, encontramos a transformada de . Sabemos que:
Esta é uma aplicação direta da transformada de , onde .

Passo 6

Aplicando a propriedade do deslocamento:
Aqui, multiplicamos pela constante que estava na expressão original de .

Passo 7

Simplificando a expressão final:
Podemos deixar a expressão dessa forma ou combinar os expoentes:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Mostre que se é contínua por partes e existem e tais que
então existe a transformada de Laplace de , definida para , e além disso,
Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta: ;
Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria .