Nos problemas de 7 a 12, encontre a transformada de Laplace da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Transformada de Laplace da função
definida por:
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e problemas de engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em funções que começam em um certo ponto no tempo, usando a função degrau unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função degrau unitário
. A função degrau
é igual a 0 para
e igual a 1 para
. Então, podemos expressar
da seguinte maneira:
Isso facilita a aplicação da Transformada de Laplace, especialmente quando temos um deslocamento no tempo.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace que lida com o deslocamento no tempo. A propriedade diz que:
No nosso caso,
e
. Então, aplicando essa propriedade:
Passo 4
Agora precisamos calcular a Transformada de Laplace de
, que é uma fórmula padrão. Sabemos que:
Para
:
Portanto, substituindo de volta na equação anterior:
Resposta
A Transformada de Laplace da função dada é:
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Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
(a) Mostre que, se
, então a solução do item (a) se reduz a
Nos problemas de 21 a 24 , determine se a integral dada converge ou diverge.
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