Mostre que se
é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de
é uma funçāo par e a parte imaginária é ímpar
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier. A questão pede para mostrar que, se
é uma função real, então a parte real da sua transformada de Fourier é uma função par e a parte imaginária é uma função ímpar. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, além de conhecer a definição da Transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é par se
para todo
, e é ímpar se
. Agora, a Transformada de Fourier de
é dada por:
Como
é real, podemos separar
em parte real
e parte imaginária
.
Passo 3
Vamos analisar a parte real da transformada:
Note que
é uma função par, e
sendo real, o produto
também é par. A integral de uma função par sobre todo o eixo real resulta em uma função par. Portanto,
é par.
Passo 4
Agora, vamos ver a parte imaginária:
Aqui,
é uma função ímpar, e
sendo real, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real resulta em zero, a menos que a função tenha alguma simetria específica. No entanto, considerando a natureza ímpar, concluímos que
é ímpar.
Resposta
Portanto, se
é uma função real, a parte real da sua transformada de Fourier é uma função par e a parte imaginária é uma função ímpar.
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Mostre que se
é uma funçāo real ímpar, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo imaginária.
Mostre que se
é uma funçāo real par, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo real.
Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
-
-
onde
Considere um pulso de onda dado por
onde
e
. Faça gráficos do pulso nos instantes
, e
.