Mostre que se f(t) é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de f(t) é uma funçāo par e a parte imaginária é ímpar

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier. A questão pede para mostrar que, se é uma função real, então a parte real da sua transformada de Fourier é uma função par e a parte imaginária é uma função ímpar. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, além de conhecer a definição da Transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é par se para todo , e é ímpar se . Agora, a Transformada de Fourier de é dada por:
Como é real, podemos separar em parte real e parte imaginária .

Passo 3

Vamos analisar a parte real da transformada:
Note que é uma função par, e sendo real, o produto também é par. A integral de uma função par sobre todo o eixo real resulta em uma função par. Portanto, é par.

Passo 4

Agora, vamos ver a parte imaginária:
Aqui, é uma função ímpar, e sendo real, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real resulta em zero, a menos que a função tenha alguma simetria específica. No entanto, considerando a natureza ímpar, concluímos que é ímpar.

Resposta

Portanto, se é uma função real, a parte real da sua transformada de Fourier é uma função par e a parte imaginária é uma função ímpar.

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