Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
-
-
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são duas funções para as quais precisamos traçar o gráfico e encontrar a representação em série de Fourier. As funções são:
-
-
, onde
Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são ferramentas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Isso é super útil para analisar sinais em engenharia e física.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, vamos traçar o gráfico dessa função. O
tem um período de 2 (porque
completa um ciclo quando
, ou seja,
). O valor absoluto faz com que todas as partes negativas do seno fiquem positivas, criando uma forma de onda dente de serra simétrica.
Passo 3
Agora, para encontrar a série de Fourier de
, percebemos que a função é par (simétrica em relação ao eixo y), então a série de Fourier terá apenas termos de cosseno.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
onde
é metade do período da função.
No nosso caso, o período
, então
.
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
e
.
O coeficiente
é dado por:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Passo 5
Agora, os coeficientes
para
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Integrando:
Depois de simplificar, encontramos que os coeficientes
são:
E
para
par.
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Para a segunda função
, sabemos que a série de Fourier de uma comb de Dirac é outra comb de Dirac na frequência. A representação em série de Fourier é:
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é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de
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Considere um pulso de onda dado por
onde
e
. Faça gráficos do pulso nos instantes
, e
.
Considere um pulso de onda dado por
onde
e
. O pulso é caracterizado por sua altura e sua largura. A altura
do pulso é o módulo do deslocamento máximo devido ao pulso, e a meia largura
é a distância entre dois pontos do pulso onde o módulo do deslocamento é a metade da altura do pulso. Determine
e
. Resp: b)
.