Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
  • onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são duas funções para as quais precisamos traçar o gráfico e encontrar a representação em série de Fourier. As funções são:
  1. , onde
Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são ferramentas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Isso é super útil para analisar sinais em engenharia e física.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, vamos traçar o gráfico dessa função. O tem um período de 2 (porque completa um ciclo quando , ou seja, ). O valor absoluto faz com que todas as partes negativas do seno fiquem positivas, criando uma forma de onda dente de serra simétrica.

Passo 3

Agora, para encontrar a série de Fourier de , percebemos que a função é par (simétrica em relação ao eixo y), então a série de Fourier terá apenas termos de cosseno.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
onde é metade do período da função.
No nosso caso, o período , então .

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes e .
O coeficiente é dado por:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 5

Agora, os coeficientes para :
Usando a identidade trigonométrica :
Integrando:
Depois de simplificar, encontramos que os coeficientes são:
í
E para par.

Resposta

A série de Fourier da função é:
Para a segunda função , sabemos que a série de Fourier de uma comb de Dirac é outra comb de Dirac na frequência. A representação em série de Fourier é:

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