Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
  • f(t)=|sen(pi t)|
  • g(t)=sumn=-infty^infty de onde T>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são duas funções para as quais precisamos traçar o gráfico e encontrar a representação em série de Fourier. As funções são:
  1. , onde
Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são ferramentas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Isso é super útil para analisar sinais em engenharia e física.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, vamos traçar o gráfico dessa função. O tem um período de 2 (porque completa um ciclo quando , ou seja, ). O valor absoluto faz com que todas as partes negativas do seno fiquem positivas, criando uma forma de onda dente de serra simétrica.

Passo 3

Agora, para encontrar a série de Fourier de f(t) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi tL) , percebemos que a função é par (simétrica em relação ao eixo y), então a série de Fourier terá apenas termos de cosseno.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
onde é metade do período da função.
No nosso caso, o período , então .

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes a0 = 1T integral-L^L f(t) , dt = 12 integral-1^1 |sin(pi t)| , dt e a0 = 12 times 2 integral0^1 sin(pi t) , dt = integral0^1 sin(pi t) , dt = [-cos(pi t)pi]0^1 = 2pi .
O coeficiente é dado por:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 5

Agora, os coeficientes an = 2T integral0^1 |sin(pi t)| cos(npi t) , dt = 2 integral0^1 sin(pi t) cos(npi t) , dt para an = integral0^1 [sin(pi t + npi t) + sin(pi t - npi t)] , dt = integral0^1 [sin((n+1)pi t) + sin((1-n)pi t)] , dt :
an = [-cos((n+1)pi t)(n+1)pi - cos((1-n)pi t)(1-n)pi]0^1
Usando a identidade trigonométrica an = 4pi(1 - n^2) para ( n ) ímpar :
Integrando:
Depois de simplificar, encontramos que os coeficientes são:
í
E para par.

Resposta

A série de Fourier da função f(t) = 2pi + 4pi ( cos(pi t) + 13cos(3pi t) + 15cos(5pi t) + cdots ) é:
g(t) = 1T sumk=-infty^infty e^j 2pi k tT
Para a segunda função , sabemos que a série de Fourier de uma comb de Dirac é outra comb de Dirac na frequência. A representação em série de Fourier é:

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