Mostre que f(t) = t / (1 + |t|) é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a função é crescente. Isso está relacionado ao estudo de funções e seu comportamento, especificamente se a função aumenta conforme a variável aumenta. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para verificar se a função está realmente aumentando em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser crescente. Uma função é crescente se, à medida que o valor de aumenta, o valor de também aumenta. Matemáticamente, isso significa que a derivada da função deve ser maior ou igual a zero para todo no domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Como temos o valor absoluto, precisamos considerar dois casos: quando é positivo e quando é negativo.
Caso 1:
Quando é positivo, . Então, a função fica:
Para derivar, usamos a regra do quociente:
Como é sempre positivo para e nosso caso é , a derivada é positiva.
Caso 2:
Quando é negativo, . Então, a função fica:
Derivando novamente com a regra do quociente:
Novamente, é sempre positivo para , e como nosso caso é , a derivada também é positiva.

Resposta

Como a derivada é positiva tanto para quanto para , podemos concluir que a função é crescente em todo o seu domínio.

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