Mostre que
é crescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a função
é crescente. Isso está relacionado ao estudo de funções e seu comportamento, especificamente se a função aumenta conforme a variável
aumenta. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para verificar se a função está realmente aumentando em todo o seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser crescente. Uma função é crescente se, à medida que o valor de
aumenta, o valor de
também aumenta. Matemáticamente, isso significa que a derivada da função
deve ser maior ou igual a zero para todo
no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Como temos o valor absoluto, precisamos considerar dois casos: quando
é positivo e quando
é negativo.
Caso 1:
Quando
é positivo,
. Então, a função fica:
Para derivar, usamos a regra do quociente:
Como
é sempre positivo para
e nosso caso é
, a derivada
é positiva.
Caso 2:
Quando
é negativo,
. Então, a função fica:
Derivando novamente com a regra do quociente:
Novamente,
é sempre positivo para
, e como nosso caso é
, a derivada
também é positiva.
Resposta
Como a derivada
é positiva tanto para
quanto para
, podemos concluir que a função
é crescente em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Usando a estratégia de construir gráficos esboce o gráfico de
.
Usando a regra do LHôpital calcule os limites:
.
A aresta de um cubo tem
, com um possível erro de medida de 0 cm . Use diferenciais para estimar o erro possivel no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
(b) da área da superfície do cubo.
A aresta de um cubo tem
, com um possível erro de medida de 0 cm . Use diferenciais para estimar o erro possivel no cálculo:
(a) do volume do cubo.
(a) do volume do cubo.