Usando a estratégia de construir gráficos esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções racionais, onde a gente analisa o comportamento do gráfico olhando para interceptos, assíntotas e outros pontos importantes. Vamos precisar calcular alguns valores específicos e entender como a função se comporta em diferentes partes do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo
acontece quando
. Substituindo na função:
Então, temos um ponto no gráfico em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com o eixo
, que ocorrem quando
. Para isso:
O numerador precisa ser zero:
Então, o intercepto com o eixo
é em
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para valores muito grandes de
, ou seja, quando
tende ao infinito positivo e negativo. Dividindo os termos de maior grau no numerador e denominador:
Isso indica que a linha
é uma assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos verificar a derivada para entender se há máximos ou mínimos locais. Calculando
:
Simplificando:
Encontrando onde
, mas para simplificar nosso esboço, vamos apenas reconhecer que há uma variação na curva que passa pelo ponto
e tende a
nos extremos.
Passo 6
Finalmente, juntando todas as informações: temos um intercepto no
em
, um intercepto no
em
, e uma assíntota horizontal em
. Com isso, podemos esboçar um gráfico que passa por esses pontos e se aproxima da linha
conforme
vai para
ou
.
Resposta
O gráfico de
tem interceptos em
e
, com uma assíntota horizontal em
. A partir dessas informações, o esboço mostra uma curva que passa pelos pontos identificados e se aproxima da linha
nos extremos do eixo
.
Exercícios relacionados
Usando a regra do LHôpital calcule os limites:
.
Resolva as inequações:
Mostre que
é crescente.
A aresta de um cubo tem
, com um possível erro de medida de 0 cm . Use diferenciais para estimar o erro possivel no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
(b) da área da superfície do cubo.