Usando a estratégia de construir gráficos esboce o gráfico de f(x) = ((x+1)^2) / (x^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções racionais, onde a gente analisa o comportamento do gráfico olhando para interceptos, assíntotas e outros pontos importantes. Vamos precisar calcular alguns valores específicos e entender como a função se comporta em diferentes partes do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo acontece quando . Substituindo na função:
Então, temos um ponto no gráfico em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com o eixo , que ocorrem quando . Para isso:
O numerador precisa ser zero:
Então, o intercepto com o eixo é em .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para valores muito grandes de , ou seja, quando tende ao infinito positivo e negativo. Dividindo os termos de maior grau no numerador e denominador:
Isso indica que a linha é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos verificar a derivada para entender se há máximos ou mínimos locais. Calculando :
Simplificando:
Encontrando onde , mas para simplificar nosso esboço, vamos apenas reconhecer que há uma variação na curva que passa pelo ponto e tende a nos extremos.

Passo 6

Finalmente, juntando todas as informações: temos um intercepto no em , um intercepto no em , e uma assíntota horizontal em . Com isso, podemos esboçar um gráfico que passa por esses pontos e se aproxima da linha conforme vai para ou .

Resposta

O gráfico de tem interceptos em e , com uma assíntota horizontal em . A partir dessas informações, o esboço mostra uma curva que passa pelos pontos identificados e se aproxima da linha nos extremos do eixo .

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