Usando a regra do LHôpital calcule os limites:
lim x infty(1+x)^1 / x.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty(1+x)^1 / x. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty. Precisaremos também usar propriedades dos logaritmos para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Tirar o logaritmo ajuda a transformar a potência em uma multiplicação, o que é mais fácil de lidar:
ln(lim x infty(1+x)^1 / x) = lim x infty ln(1+x)x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite lim x infty ln(1+x)x. Ao substituir x por infinito, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, ou seja, a expressão está na forma inftyinfty, que é uma indeterminação. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
  • A derivada de ln(1+x) em relação a x é 11+x.
  • A derivada de x em relação a x é 1.
Então, o limite fica:
lim x infty ln(1+x)x = lim x infty 11+x1 = lim x infty 11+x = 0

Passo 5

Voltando ao logaritmo que usamos no começo, temos:
ln(lim x infty(1+x)^1 / x) = 0
Para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
lim x infty(1+x)^1 / x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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