Usando a regra do LHôpital calcule os limites:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Precisaremos também usar propriedades dos logaritmos para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Tirar o logaritmo ajuda a transformar a potência em uma multiplicação, o que é mais fácil de lidar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite
. Ao substituir
por infinito, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, ou seja, a expressão está na forma
, que é uma indeterminação. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 5
Voltando ao logaritmo que usamos no começo, temos:
Para encontrar o limite original, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é igual a
.
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Resolva as inequações:
Resolva as equações:
Usando a estratégia de construir gráficos esboce o gráfico de
.
Mostre que
é crescente.