Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(3, 5, 9) e é ortogonal ao plano α de equação α:(x, y, z)=(1, 4, 2)+t1(5, 1, 1)+t2(2, 1, 0).
A)r:(x, y, z)=(3, 5, 9)+t(-1, 2, 3)
B)r:(x, y, z)=(1, 4, 2)+t(5, 1, 1)
C)r:(x, y, z)=(3, 5, 9)+t(5, 1, 1)
D)r:(x, y, z)=(3, 5, 9)+t(2, 1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a equação vetorial de uma reta $ r $ que passa pelo ponto $ A(3, 5, 9) $ e que é ortogonal ao plano $ \alpha $. Primeiro, precisamos lembrar que o conteúdo envolve geometria vetorial, especificamente o estudo de retas e planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a vetor normal de um plano e como usar esse vetor para definir a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do plano $ \alpha $. Ela está dada de forma paramétrica:
alpha
Aqui, os vetores $ \vec{u} = (5, 1, 1) $ e $ \vec{v} = (2, 1, 0) $ são vetores diretores do plano.

Passo 3

Como queremos uma reta $ r $ que seja ortogonal ao plano $ \alpha $, precisamos encontrar um vetor normal ao plano $ \alpha $. O vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores diretores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{v} $:
u times v
u times v = i & j & k 5 & 1 & 1 2 & 1 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(5 cdot 0 - 1 cdot 2) + k(5 cdot 1 - 1 cdot 2)
= i(-1) - j(-2) + k(3)
Então, o vetor normal é $ \vec{n} = (-1, 2, 3) $.

Passo 5

Agora que temos o vetor normal $ \vec{n} = (-1, 2, 3) $, podemos escrever a equação vetorial da reta $ r $ que passa pelo ponto $ A(3, 5, 9) $ e tem direção $ \vec{n} $. A equação vetorial fica:
n = (-1, 2, 3)
Ou de forma compacta:
r

Resposta

A resposta correta é a opção A):
r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3)

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