Use a regra da cadeia para calcular
, no ponto dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício que envolve cálculo de derivadas usando a regra da cadeia. A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
no ponto onde
. As funções que temos são:
Pra isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
. Como
é função de
e
, e
e
são funções de
, a derivada de
em relação a
será:
Isso é a regra da cadeia aplicada a funções de várias variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos mostram como
muda quando
ou
mudam.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas indicam como
e
mudam conforme
varia.
Passo 5
Vamos substituir
nas expressões de
e
:
Assim, no ponto
, temos
e
.
Passo 6
Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Agora, sabemos os valores das derivadas parciais no ponto específico.
Passo 7
Também substituímos
nas derivadas de
e
:
Agora temos todas as informações necessárias para calcular
.
Passo 8
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia com os valores encontrados:
Resposta
A derivada de
em relação a
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição.
Mostre que
satisfaz a equação do calor
Calcule
onde
é igual a:
Use a
parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
(e)
(e)