Use a regra da cadeia para calcular , no ponto dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício que envolve cálculo de derivadas usando a regra da cadeia. A gente precisa encontrar a derivada de em relação a no ponto onde . As funções que temos são:
Pra isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de . Como é função de e , e e são funções de , a derivada de em relação a será:
Isso é a regra da cadeia aplicada a funções de várias variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos mostram como muda quando ou mudam.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas indicam como e mudam conforme varia.

Passo 5

Vamos substituir nas expressões de e :
Assim, no ponto , temos e .

Passo 6

Substituindo e nas derivadas parciais:
Agora, sabemos os valores das derivadas parciais no ponto específico.

Passo 7

Também substituímos nas derivadas de e :
Agora temos todas as informações necessárias para calcular .

Passo 8

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia com os valores encontrados:

Resposta

A derivada de em relação a no ponto é .

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Mostre que satisfaz a equação do calor
Calcule onde é igual a:
Use a parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
(e)