Mostre que
satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos da física e matemática, especialmente em problemas de potencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
,
e
e somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em coordenadas cartesianas, ela é dada por:
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais e ver se sua soma realmente é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular as derivadas em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos somar todas as segundas derivadas parciais:
Substituindo os valores calculados:
Simplificando:
Passo 7
Para que a função satisfaça a equação de Laplace, precisamos que
. Olhando para a expressão que obtivemos:
Para que isso seja igual a zero para todos os
, cada coeficiente deve ser zero:
Isso só é possível se
, o que nunca acontece, ou se
e
simultaneamente, o que também é impossível.
Resposta
A função
não satisfaz a equação de Laplace, pois a soma das suas derivadas parciais de segunda ordem não é igual a zero.