Mostre que f(x, y, z) = e^(3 + 4 + 4) cos(5z) satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos da física e matemática, especialmente em problemas de potencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a , e e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em coordenadas cartesianas, ela é dada por:
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais e ver se sua soma realmente é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular as derivadas em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Calculando cada termo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos somar todas as segundas derivadas parciais:
Substituindo os valores calculados:
Simplificando:

Passo 7

Para que a função satisfaça a equação de Laplace, precisamos que . Olhando para a expressão que obtivemos:
Para que isso seja igual a zero para todos os , cada coeficiente deve ser zero:
Isso só é possível se , o que nunca acontece, ou se e simultaneamente, o que também é impossível.

Resposta

A função não satisfaz a equação de Laplace, pois a soma das suas derivadas parciais de segunda ordem não é igual a zero.

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