Mostre que não é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função não é diferenciável no ponto . Vamos trabalhar com Cálculo Diferencial Multivariável, e para isso precisamos entender o conceito de diferenciabilidade e como verificar se uma função possui essa propriedade em um determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e , temos:
Isso nos leva a uma indeterminação, o que significa que as derivadas parciais não existem no ponto .

Passo 5

A ausência das derivadas parciais implica que a função não tem um plano tangente definido em , ou seja, não pode ser aproximada linearmente naquele ponto. Portanto, seguindo o critério de diferenciabilidade, se as derivadas parciais não existem, a função também não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Mostre que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide em .
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis .
Esboce o gráfico da função:
(l) Para quais valores de a função é contínua ?
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(b) .