Suponha que z esteja definida implicitamente como uma função de x e y pela equação F(x, y, z) = x * z^2 + y^2 * z + x * y - 1 = 0.
(a) Calcule Fx, Fy e Fz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular as derivadas parciais de em relação a , e . A função que temos é . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem várias variáveis e queremos ver como ela muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é (pois não há nesse termo).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é .
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (pois não há nesse termo).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da potência: ).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é .
Então, somando tudo:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (pois não há nesse termo).
  • A derivada de em relação a é .
Então, somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
f(x) = -3x + 4
Mostre que para f(x, y) = raiz(x^2 + y^2) vale a equação de Laplace
f_xx(x, y) + f_yy(x, y) = 0
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
f(x) = -5 x - 6
Seja f: D subset R^2 R. Suponha que lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L e que gamma, uma curva do R^2, seja contínua em t0, com gamma(t0)=(a, b) e, para todo, t neq t0 tem-se gamma(t) neq gamma(t0), com gamma(t) in D. Mostre que vale lim t t0 f(gamma(t))=L.