Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
.
(a) Calcule
e
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. A função que temos é
. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem várias variáveis e queremos ver como ela muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é (pois não há nesse termo). - A derivada de
em relação a é (já que é constante). - A derivada de
em relação a é .
Então, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (pois não há nesse termo). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da potência: ). - A derivada de
em relação a é (já que é constante). - A derivada de
em relação a é .
Então, somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois não há nesse termo). - A derivada de
em relação a é .
Então, somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Mostre que para
vale a equação de Laplace
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Seja
. Suponha que
e que
, uma curva do
, seja contínua em
, com
e, para todo,
tem-se
, com
. Mostre que vale
.