Mostre que a fração é irredutível para todo inteiro positivo .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a fração é irredutível para todo número inteiro positivo . Isso significa que não existe nenhum número inteiro maior que 1 que divida tanto o numerador ( ) quanto o denominador ( ). Para resolver isso, vamos usar o Máximo Divisor Comum (MDC).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Se o MDC for 1, dizemos que os números são coprimos ou relativamente primos, o que significa que a fração formada por eles é irredutível.

Passo 3

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de e . O algoritmo funciona assim:
  1. Dividimos o número maior pelo menor e anotamos o resto.
  2. Substituímos o maior número pelo menor e o menor pelo resto.
  3. Repetimos o processo até que o resto seja zero. O último resto diferente de zero será o MDC.

Passo 4

Aplicando o algoritmo:
  1. Dividimos por :
    Aqui, o resto é .
  2. Agora, encontramos o MDC de e :
    O resto agora é .
  3. Por último, encontramos o MDC de e :
    O resto é , então paramos aqui.
O último resto diferente de zero foi , então o MDC de e é .

Resposta

Portanto, a fração é irredutível para todo inteiro positivo .

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Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b , existem inteiros únicos e que satisfazem , onde . [Dica: Primeiro escreva , onde . Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe e ; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe se ou se .]
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
Mostre que qualquer inteiro da forma também é da forma , mas o contrário não é verdadeiro.