Mostre que a fração 21 n+414 n+3 é irredutível para todo inteiro positivo n.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a fração 21n + 414n + 3 é irredutível para todo número inteiro positivo n. Isso significa que não existe nenhum número inteiro maior que 1 que divida tanto o numerador ( 21n + 4) quanto o denominador ( 14n + 3). Para resolver isso, vamos usar o Máximo Divisor Comum (MDC).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Se o MDC for 1, dizemos que os números são coprimos ou relativamente primos, o que significa que a fração formada por eles é irredutível.

Passo 3

Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 21n + 4 e 14n + 3. O algoritmo funciona assim:
  1. Dividimos o número maior pelo menor e anotamos o resto.
  2. Substituímos o maior número pelo menor e o menor pelo resto.
  3. Repetimos o processo até que o resto seja zero. O último resto diferente de zero será o MDC.

Passo 4

Aplicando o algoritmo:
  1. Dividimos 21n + 4 por 14n + 3:
    21n + 4 = 1 times (14n + 3) + (7n + 1)
    Aqui, o resto é 7n + 1.
  2. Agora, encontramos o MDC de 14n + 3 e 7n + 1:
    14n + 3 = 2 times (7n + 1) + 1
    O resto agora é 1.
  3. Por último, encontramos o MDC de 7n + 1 e 1:
    7n + 1 = 7n times 1 + 1
    O resto é 0, então paramos aqui.
O último resto diferente de zero foi 1, então o MDC de 21n + 4 e 14n + 3 é 1.

Resposta

Portanto, a fração 21n + 414n + 3 é irredutível para todo inteiro positivo n.

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