Mostre que a fração
é irredutível para todo inteiro positivo
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a fração
é irredutível para todo número inteiro positivo
. Isso significa que não existe nenhum número inteiro maior que 1 que divida tanto o numerador (
) quanto o denominador (
). Para resolver isso, vamos usar o Máximo Divisor Comum (MDC).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Se o MDC for 1, dizemos que os números são coprimos ou relativamente primos, o que significa que a fração formada por eles é irredutível.
Passo 3
Vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de
e
. O algoritmo funciona assim:
- Dividimos o número maior pelo menor e anotamos o resto.
- Substituímos o maior número pelo menor e o menor pelo resto.
- Repetimos o processo até que o resto seja zero. O último resto diferente de zero será o MDC.
Passo 4
Aplicando o algoritmo:
-
Dividimos
por : Aqui, o resto é. -
Agora, encontramos o MDC de
e : O resto agora é. -
Por último, encontramos o MDC de
e : O resto é, então paramos aqui.
O último resto diferente de zero foi
, então o MDC de
e
é
.
Resposta
Portanto, a fração
é irredutível para todo inteiro positivo
.
Exercícios relacionados
Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b
, existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
. [Dica: Primeiro escreva
, onde
. Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe
e
; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe
se
ou
se
.]
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
Mostre que qualquer inteiro da forma
também é da forma
, mas o contrário não é verdadeiro.