Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou 3 k+1.

Passo 1

O exercício pede para usarmos o Algoritmo da Divisão para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma ou . Vamos precisar entender como funciona a divisão por 3 e aplicar isso ao quadrado dos números.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Quando dividimos um número inteiro por 3, ele pode deixar um resto de 0, 1 ou 2. Isso significa que qualquer número inteiro n = 3k pode ser escrito de uma dessas formas:
n = 3k + 1
n = 3k + 2
Aqui, é um número inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas formas para ver qual é o resultado.
Caso 1: n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)
Aqui, é também um inteiro, então é da forma .

Passo 4

Caso 2: n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1
Novamente, é um inteiro, então é da forma .

Passo 5

Caso 3: n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4
n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1
n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1
Aqui, é um inteiro, então também é da forma .

Resposta

Portanto, mostramos que o quadrado de qualquer inteiro é sempre da forma ou .

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