Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou
.
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou
Passo 1
O exercício pede para usarmos o Algoritmo da Divisão para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma
ou
. Vamos precisar entender como funciona a divisão por 3 e aplicar isso ao quadrado dos números.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Quando dividimos um número inteiro por 3, ele pode deixar um resto de 0, 1 ou 2. Isso significa que qualquer número inteiro
pode ser escrito de uma dessas formas:
Aqui,
é um número inteiro.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas formas para ver qual é o resultado.
Caso 1:
Aqui,
é também um inteiro, então
é da forma
.
Passo 4
Caso 2:
Novamente,
é um inteiro, então
é da forma
.
Passo 5
Caso 3:
Aqui,
é um inteiro, então
também é da forma
.
Resposta
Portanto, mostramos que o quadrado de qualquer inteiro é sempre da forma
ou
.
Exercícios relacionados
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se é um número triangular, então
, e
também são números triangulares. (Euler, 1775)
d) Se
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma para algum
. (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma
Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b
, existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
. [Dica: Primeiro escreva
, onde
. Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe
e
; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe
se
ou
se
.]
Mostre que a fração
é irredutível para todo inteiro positivo
.