Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .

Passo 1

O exercício pede para usarmos o Algoritmo da Divisão para mostrar que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma ou . Vamos precisar entender como funciona a divisão por 3 e aplicar isso ao quadrado dos números.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Quando dividimos um número inteiro por 3, ele pode deixar um resto de 0, 1 ou 2. Isso significa que qualquer número inteiro pode ser escrito de uma dessas formas:
Aqui, é um número inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas formas para ver qual é o resultado.
Caso 1:
Aqui, é também um inteiro, então é da forma .

Passo 4

Caso 2:
Novamente, é um inteiro, então é da forma .

Passo 5

Caso 3:
Aqui, é um inteiro, então também é da forma .

Resposta

Portanto, mostramos que o quadrado de qualquer inteiro é sempre da forma ou .

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Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b , existem inteiros únicos e que satisfazem , onde . [Dica: Primeiro escreva , onde . Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe e ; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe se ou se .]
Mostre que a fração é irredutível para todo inteiro positivo .