Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre números triangulares, que são aqueles números que podem formar um triângulo equilátero quando representados com pontos. A questão pede para provar que a soma de dois números triangulares consecutivos resulta em um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula dos números triangulares e como manipulá-la para chegar na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número triangular. Um número triangular é dado pela fórmula:
onde
é o n-ésimo número triangular e
é um número natural.
Passo 3
Agora, como queremos somar dois números triangulares consecutivos, vamos considerar
e
. Usando a fórmula, temos:
Passo 4
Vamos somar esses dois números triangulares:
Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores:
Passo 5
Vamos fatorar
do numerador:
Simplificando
:
Os 2 do numerador e denominador cancelam:
Resposta
Portanto, a soma de dois números triangulares consecutivos
e
é igual a
, que é um quadrado perfeito. Assim, provamos que a soma de dois números triangulares consecutivos sempre resulta em um quadrado perfeito.
Exercícios relacionados
Mostre que a fração
é irredutível para todo inteiro positivo
.
Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b
, existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
. [Dica: Primeiro escreva
, onde
. Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe
e
; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe
se
ou
se
.]
Mostre que qualquer inteiro da forma
também é da forma
, mas o contrário não é verdadeiro.
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou