Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre números triangulares, que são aqueles números que podem formar um triângulo equilátero quando representados com pontos. A questão pede para provar que a soma de dois números triangulares consecutivos resulta em um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula dos números triangulares e como manipulá-la para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número triangular. Um número triangular é dado pela fórmula:
Tn = n(n + 1)2
onde é o n-ésimo número triangular e é um número natural.

Passo 3

Agora, como queremos somar dois números triangulares consecutivos, vamos considerar Tn = n(n + 1)2 e Tn+1 = (n+1)(n + 2)2 . Usando a fórmula, temos:

Passo 4

Vamos somar esses dois números triangulares:
Tn + Tn+1 = n(n + 1)2 + (n+1)(n + 2)2
Como os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores:
Tn + Tn+1 = n(n + 1) + (n+1)(n + 2)2

Passo 5

Vamos fatorar Tn + Tn+1 = (n + 1)(n + n + 2)2 do numerador:
Tn + Tn+1 = (n + 1)(2n + 2)2
Tn + Tn+1 = (n + 1) cdot 2(n + 1)2
Simplificando Tn + Tn+1 = (n + 1)^2 :
Os 2 do numerador e denominador cancelam:

Resposta

Portanto, a soma de dois números triangulares consecutivos e é igual a , que é um quadrado perfeito. Assim, provamos que a soma de dois números triangulares consecutivos sempre resulta em um quadrado perfeito.

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