Mostre que qualquer inteiro da forma também é da forma , mas o contrário não é verdadeiro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que todo número inteiro da forma também pode ser escrito como , mas que nem todo número da forma pode ser escrito como . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como essas expressões funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expressão da forma . Aqui, é um número inteiro, e quando multiplicamos 6 por e adicionamos 5, obtemos um número que sempre será 5 a mais que um múltiplo de 6. Por exemplo, se , temos ; se , temos , e assim por diante.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que qualquer número dessa forma também pode ser escrito como . Para isso, vamos tentar expressar de uma maneira que se pareça com .
Vamos começar dividindo por 3:
Agora, queremos que essa expressão fique no formato . Observe que pode ser reescrito como :
Aqui, , que também é um número inteiro se for inteiro. Portanto, qualquer número da forma pode ser reescrito como .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que o contrário não é verdadeiro, ou seja, nem todo número da forma pode ser escrito como . Para provar isso, vamos encontrar um exemplo onde não pode ser expresso como .
Escolha :
Agora, vamos ver se 8 pode ser escrito como :
Aqui, não é um número inteiro, o que significa que 8 não pode ser escrito como onde é inteiro. Portanto, nem todo número da forma está da forma .

Resposta

Mostramos que qualquer inteiro da forma pode ser escrito como , mas nem todo inteiro da forma pode ser expresso como . Portanto, a afirmação está correta.

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