Mostre que qualquer inteiro da forma
também é da forma
, mas o contrário não é verdadeiro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que todo número inteiro da forma
também pode ser escrito como
, mas que nem todo número da forma
pode ser escrito como
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como essas expressões funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma expressão da forma
. Aqui,
é um número inteiro, e quando multiplicamos 6 por
e adicionamos 5, obtemos um número que sempre será 5 a mais que um múltiplo de 6. Por exemplo, se
, temos
; se
, temos
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que qualquer número dessa forma também pode ser escrito como
. Para isso, vamos tentar expressar
de uma maneira que se pareça com
.
Vamos começar dividindo
por 3:
Agora, queremos que essa expressão fique no formato
. Observe que
pode ser reescrito como
:
Aqui,
, que também é um número inteiro se
for inteiro. Portanto, qualquer número da forma
pode ser reescrito como
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que o contrário não é verdadeiro, ou seja, nem todo número da forma
pode ser escrito como
. Para provar isso, vamos encontrar um exemplo onde
não pode ser expresso como
.
Escolha
:
Agora, vamos ver se 8 pode ser escrito como
:
Aqui,
não é um número inteiro, o que significa que 8 não pode ser escrito como
onde
é inteiro. Portanto, nem todo número da forma
está da forma
.
Resposta
Mostramos que qualquer inteiro da forma
pode ser escrito como
, mas nem todo inteiro da forma
pode ser expresso como
. Portanto, a afirmação está correta.
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é irredutível para todo inteiro positivo
.
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
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.