Mostre que a função possui mínimo no ponto .

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa mostrar que a função atinge um mínimo no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e condições de otimização para encontrar os pontos críticos e verificar se realmente é um mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem pontos críticos, ou seja, onde as tangentes são horizontais.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos verificar se o ponto satisfaz essas equações.

Passo 4

Substituindo e na primeira equação:
Simplificando, vemos que isso é igual a zero.

Passo 5

Fazendo a mesma substituição na segunda equação:
Também é igual a zero, confirmando que é um ponto crítico.

Passo 6

Para confirmar que esse ponto é um mínimo, precisamos verificar a segunda derivada ou usar o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico :
O determinante da matriz Hessiana é:
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui mínimo no ponto .

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Mostre que possui máximo no ponto .
Mostre que a função possui máximo no ponto e mínimo em .