Mostre que a função
possui mínimo no ponto
.
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa mostrar que a função
atinge um mínimo no ponto
. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e condições de otimização para encontrar os pontos críticos e verificar se realmente é um mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem pontos críticos, ou seja, onde as tangentes são horizontais.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos verificar se o ponto
satisfaz essas equações.
Passo 4
Substituindo
e
na primeira equação:
Simplificando, vemos que isso é igual a zero.
Passo 5
Fazendo a mesma substituição na segunda equação:
Também é igual a zero, confirmando que
é um ponto crítico.
Passo 6
Para confirmar que esse ponto é um mínimo, precisamos verificar a segunda derivada ou usar o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico
:
O determinante da matriz Hessiana é:
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
Resposta
A função
possui mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
possui um ponto crítico mas não extremos locais.
Teste a série para a convergência ou divergência:
Mostre que
possui máximo no ponto
.
Mostre que a função
possui máximo no ponto
e mínimo em
.