Mostre que a função possui máximo no ponto e mínimo em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função tem um máximo no ponto e um mínimo em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre extremos de funções de várias variáveis. Precisaremos encontrar os pontos críticos da função (onde as derivadas parciais são zero) e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável , e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar onde a função pode ter extremos.
A função dada é:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Observando as três equações, percebemos que todas têm o termo em comum. Isso sugere que , o que acontece quando .

Passo 5

Assumindo que , substituímos na equação:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas.

Passo 7

Segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 8

Vamos avaliar a matriz Hessiana nos pontos críticos.
Para :
Para :

Passo 9

Agora, analisamos a definitude da matriz Hessiana.
  • No ponto :
    • Os valores principais (determinantes das submatrizes principais) são positivos, indicando que a matriz Hessiana é definida positiva. Isso significa que a função tem um mínimo nesse ponto.
  • No ponto :
    • Os valores principais são negativos, indicando que a matriz Hessiana é definida negativa. Isso significa que a função tem um máximo nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função possui um máximo no ponto e um mínimo no ponto .

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