Mostre que a função possui máximo no ponto e mínimo em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função tem um máximo no ponto e um mínimo em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre extremos de funções de várias variáveis. Precisaremos encontrar os pontos críticos da função (onde as derivadas parciais são zero) e então determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável , e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar onde a função pode ter extremos.
A função dada é:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Observando as três equações, percebemos que todas têm o termo em comum. Isso sugere que , o que acontece quando .
Passo 5
Assumindo que , substituímos na equação:
Então, os pontos críticos são e .
Passo 6
Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas.
Passo 7
Segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 8
Vamos avaliar a matriz Hessiana nos pontos críticos.
Para :
Para :
Passo 9
Agora, analisamos a definitude da matriz Hessiana.
No ponto :
Os valores principais (determinantes das submatrizes principais) são positivos, indicando que a matriz Hessiana é definida positiva. Isso significa que a função tem um mínimo nesse ponto.
No ponto :
Os valores principais são negativos, indicando que a matriz Hessiana é definida negativa. Isso significa que a função tem um máximo nesse ponto.
Resposta
Portanto, a função possui um máximo no ponto e um mínimo no ponto .