Teste a série para a convergência ou divergência:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de convergência de séries, e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver.
Passo 2
Observamos que a série dada é uma série alternada porque os termos possuem o fator
, que alterna o sinal de cada termo. Isso nos indica que podemos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos, decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificamos
. Claramente,
para todo
.
Em seguida, verificamos se
é decrescente. Como o denominador
aumenta conforme
aumenta,
diminui. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Finalmente, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso satisfaz a segunda condição do teste.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Qual é o domínio de
? E de
?
Indique o domínio das seguintes funções:
.
Mostre que a função
possui um ponto crítico mas não extremos locais.
Mostre que a função
possui mínimo no ponto
.