Teste a série para a convergência ou divergência:
sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de convergência de séries, e vamos precisar usar o Teste da Série Alternada para resolver.

Passo 2

Observamos que a série dada é uma série alternada porque os termos possuem o fator , que alterna o sinal de cada termo. Isso nos indica que podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos, decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos limn to infty 14n^2+1 = 0 . Claramente, para todo .
Em seguida, verificamos se é decrescente. Como o denominador aumenta conforme aumenta, diminui. Portanto, é uma sequência decrescente.
Finalmente, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Isso satisfaz a segunda condição do teste.

Resposta

A série converge.

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