Mostre que
possui máximo no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e o objetivo é mostrar que ela atinge o seu máximo no ponto
. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra achar os pontos críticos da função, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável (
,
, e
) e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
De maneira semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero:
Assumimos
, então podemos dividir cada equação por
,
, e
respectivamente:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Da mesma forma, subtraindo a equação (1) da equação (3):
Passo 7
Então, temos
. Vamos chamar cada um de
:
Substituindo na equação (1):
Portanto, o ponto
satisfaz todas as equações.
Passo 8
Para verificar se esse ponto é realmente um máximo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Devido à simetria e ao fato de que a função tende a zero nos limites do domínio positivo, concluímos que esse ponto é um ponto de máximo.
Resposta
A função
atinge seu máximo no ponto
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
possui mínimo no ponto
.
Mostre que a função
possui um ponto crítico mas não extremos locais.
Mostre que a função
possui máximo no ponto
e mínimo em
.
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.