Mostre que f(x, y, z) = x * y * z * (1 - x - y - z) possui máximo no ponto (1/4, 1/4, 1/4).

Passo 1

Então, a gente tem a função e o objetivo é mostrar que ela atinge o seu máximo no ponto . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra achar os pontos críticos da função, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável ( , , e ) e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 4

De maneira semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero:
Assumimos , então podemos dividir cada equação por , , e respectivamente:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Da mesma forma, subtraindo a equação (1) da equação (3):

Passo 7

Então, temos . Vamos chamar cada um de :
Substituindo na equação (1):
Portanto, o ponto satisfaz todas as equações.

Passo 8

Para verificar se esse ponto é realmente um máximo, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Devido à simetria e ao fato de que a função tende a zero nos limites do domínio positivo, concluímos que esse ponto é um ponto de máximo.

Resposta

A função atinge seu máximo no ponto .

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