Mostre que a função possui um ponto crítico mas não extremos locais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O enunciado pede pra gente mostrar que essa função tem um ponto crítico, mas que esse ponto não é um extremo local (ou seja, não é um mínimo nem um máximo). Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a natureza dos pontos críticos. Então, vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois verificar se são extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, pra achar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde e .
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver a equação (1) para :

Passo 5

Agora, substituímos na equação (2):
Simplificando:

Passo 6

Com , vamos encontrar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Agora, precisamos verificar se esse ponto é um extremo local. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:

Passo 8

Calculando o discriminante no ponto :
Como , isso indica que o ponto crítico não é um extremo local, mas sim um ponto de sela.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , e esse ponto não é um extremo local.

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Sejam e . Qual é o domínio de ? E de ?
Mostre que a função possui mínimo no ponto .
Mostre que possui máximo no ponto .