Mostre que a função
possui um ponto crítico mas não extremos locais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O enunciado pede pra gente mostrar que essa função tem um ponto crítico, mas que esse ponto não é um extremo local (ou seja, não é um mínimo nem um máximo). Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a natureza dos pontos críticos. Então, vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois verificar se são extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, pra achar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde
e
.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação (1) para
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Passo 6
Com
, vamos encontrar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Agora, precisamos verificar se esse ponto é um extremo local. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Passo 8
Calculando o discriminante
no ponto
:
Como
, isso indica que o ponto crítico
não é um extremo local, mas sim um ponto de sela.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, e esse ponto não é um extremo local.
Exercícios relacionados
Teste a série para a convergência ou divergência:
Sejam
e
. Qual é o domínio de
? E de
?
Mostre que a função
possui mínimo no ponto
.
Mostre que
possui máximo no ponto
.