Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
x=t, y=t, z=t
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência (0, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de parametrização por comprimento de arco de uma reta. A gente tem a reta definida por:
E queremos reescrever essa parametrização usando o comprimento de arco, mantendo a mesma direção e começando no ponto de referência (0, 0, 0). Para isso, vamos precisar entender o que é parametrização por comprimento de arco e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parametrização por comprimento de arco usa como parâmetro o próprio comprimento da curva, geralmente chamado de s. Isso faz com que o vetor velocidade tenha módulo 1, ou seja, a reta é percorrida à velocidade constante de 1 unidade por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta original. Na parametrização dada:
O vetor diretor é , porque os coeficientes de t são todos 1. Esse vetor indica a direção na qual a reta está apontando.

Passo 4

Para parametrizar por comprimento de arco, precisamos relacionar o parâmetro s (comprimento de arco) com o parâmetro original t. A relação é dada por:
Onde v é o vetor diretor e é o módulo desse vetor. Vamos calcular o módulo de :
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos t na parametrização original pelas expressões em termos de s:
Essa é a parametrização por comprimento de arco da reta, começando no ponto (0, 0, 0) e mantendo a mesma direção da reta original.

Resposta

A parametrização por comprimento de arco da reta é:
onde s representa o comprimento do arco a partir do ponto (0, 0, 0).

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