Obtenha a parametrização por comprimento de arco da reta
que tenha a mesma orientação que a reta dada e o ponto de referência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de parametrização por comprimento de arco de uma reta. A gente tem a reta definida por:
E queremos reescrever essa parametrização usando o comprimento de arco, mantendo a mesma direção e começando no ponto de referência
. Para isso, vamos precisar entender o que é parametrização por comprimento de arco e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parametrização por comprimento de arco usa como parâmetro o próprio comprimento da curva, geralmente chamado de
. Isso faz com que o vetor velocidade tenha módulo 1, ou seja, a reta é percorrida à velocidade constante de 1 unidade por unidade de comprimento.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta original. Na parametrização dada:
O vetor diretor é
, porque os coeficientes de
são todos 1. Esse vetor indica a direção na qual a reta está apontando.
Passo 4
Para parametrizar por comprimento de arco, precisamos relacionar o parâmetro
(comprimento de arco) com o parâmetro original
. A relação é dada por:
Onde
é o vetor diretor e
é o módulo desse vetor. Vamos calcular o módulo de
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
na parametrização original pelas expressões em termos de
:
Essa é a parametrização por comprimento de arco da reta, começando no ponto
e mantendo a mesma direção da reta original.
Resposta
A parametrização por comprimento de arco da reta é:
onde
representa o comprimento do arco a partir do ponto
.