Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma curva C do plano for parametrizada pela função vetorial lisa r(s), em que s é um parâmetro comprimento de arco, então
integral-1^3|r^prime(s)| d s=4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmativa diz que se temos uma curva no plano parametrizada pela função vetorial lisa , onde é o comprimento de arco, então a integral de de até é igual a 4. Vamos verificar se isso é verdade ou falso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que |r'(s)| = 1 para todo s é o parâmetro comprimento de arco. Quando parametrizamos uma curva pelo comprimento de arco, a derivada da função vetorial tem norma 1 para todo . Ou seja:
Isso ocorre porque, usando o comprimento de arco como parâmetro, estamos medindo exatamente a “distância” percorrida ao longo da curva de forma uniforme.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dada na afirmação usando essa propriedade. Sabemos que:
integrala^b |r'(s)| ds = integrala^b 1 , ds = b - a
Isso porque a integral de 1 em relação a de até simplesmente dá a diferença entre e .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso específico, temos:
integral-1^3 |r'(s)| ds = 3 - (-1) = 4
Portanto, a integral realmente é igual a 4, conforme afirmado na questão.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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