Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma curva do plano for parametrizada pela função vetorial lisa , em que é um parâmetro comprimento de arco, então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmativa diz que se temos uma curva no plano parametrizada pela função vetorial lisa , onde é o comprimento de arco, então a integral de de até é igual a 4. Vamos verificar se isso é verdade ou falso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que |r'(s)| = 1 para todo s é o parâmetro comprimento de arco. Quando parametrizamos uma curva pelo comprimento de arco, a derivada da função vetorial tem norma 1 para todo . Ou seja:
Isso ocorre porque, usando o comprimento de arco como parâmetro, estamos medindo exatamente a “distância” percorrida ao longo da curva de forma uniforme.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dada na afirmação usando essa propriedade. Sabemos que:
integrala^b |r'(s)| ds = integrala^b 1 , ds = b - a
Isso porque a integral de 1 em relação a de até simplesmente dá a diferença entre e .
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso específico, temos:
integral-1^3 |r'(s)| ds = 3 - (-1) = 4
Portanto, a integral realmente é igual a 4, conforme afirmado na questão.