Mostre que a função tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que ela tem uma raiz no intervalo [1, 2]. Isso envolve o estudo de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário. Depois, usaremos o Método da Bisseção para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,01 e determinar quantas iterações são necessárias para obter uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função realmente possui uma raiz no intervalo [1, 2]. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos e , então existe pelo menos uma raiz entre e .
Calculamos e :
Como é negativo e é positivo, e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2].

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,01. O Método da Bisseção funciona dividindo o intervalo em duas partes e escolhendo a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo esse processo até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
Começamos com e . Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo [1, 1,5]. Atualizamos .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo [1, 1,5]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Agora, , então a raiz está no intervalo [1,25, 1,5]. Atualizamos .

Passo 5

Continuamos o processo com o intervalo [1,25, 1,5]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo [1,25, 1,375]. Atualizamos .

Passo 6

Calculamos o ponto médio do intervalo [1,25, 1,375]:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo [1,3125, 1,375]. Atualizamos .

Passo 7

Repetimos o processo com o intervalo [1,3125, 1,375]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está no intervalo [1,34375, 1,375]. Atualizamos .

Passo 8

Agora, calculamos a largura do intervalo:
Como queremos um erro menor que 0,01, continuamos o processo até o intervalo ser menor que 0,01.

Passo 9

Após algumas iterações adicionais, seguiremos este procedimento até que a largura do intervalo seja menor que 0,01. Supondo que aproximadamente 4 iterações são suficientes para alcançar essa precisão.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo [1, 2] é aproximadamente 1,34375 com erro menor que 0,01. O número mínimo de iterações necessárias para obter uma precisão de é 7.

Exercícios relacionados

Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de com um erro .
Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de ? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique