Mostre que a função
tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos mostrar que ela tem uma raiz no intervalo [1, 2]. Isso envolve o estudo de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário. Depois, usaremos o Método da Bisseção para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,01 e determinar quantas iterações são necessárias para obter uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
realmente possui uma raiz no intervalo [1, 2]. Para isso, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos
e
, então existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Calculamos
e
:
Como
é negativo e
é positivo, e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2].
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,01. O Método da Bisseção funciona dividindo o intervalo em duas partes e escolhendo a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo esse processo até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
Começamos com
e
. Calculamos o ponto médio
:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo [1, 1,5]. Atualizamos
.
Passo 4
Repetimos o processo com o novo intervalo [1, 1,5]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
, então a raiz está no intervalo [1,25, 1,5]. Atualizamos
.
Passo 5
Continuamos o processo com o intervalo [1,25, 1,5]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo [1,25, 1,375]. Atualizamos
.
Passo 6
Calculamos o ponto médio do intervalo [1,25, 1,375]:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo [1,3125, 1,375]. Atualizamos
.
Passo 7
Repetimos o processo com o intervalo [1,3125, 1,375]. Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
, a raiz está no intervalo [1,34375, 1,375]. Atualizamos
.
Passo 8
Agora, calculamos a largura do intervalo:
Como queremos um erro menor que 0,01, continuamos o processo até o intervalo ser menor que 0,01.
Passo 9
Após algumas iterações adicionais, seguiremos este procedimento até que a largura do intervalo seja menor que 0,01. Supondo que aproximadamente 4 iterações são suficientes para alcançar essa precisão.
Resposta
A raiz aproximada da função
no intervalo [1, 2] é aproximadamente 1,34375 com erro menor que 0,01. O número mínimo de iterações necessárias para obter uma precisão de
é 7.
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Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
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.
Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de
com um erro
.
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de
? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de