Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de
com um erro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Método das Aproximações Sucessivas (MAS) para encontrar todas as raízes da função
com um erro
.
Vamos precisar entender o que é o MAS, que é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de equações, e como aplicá-lo para encontrar os valores de
que satisfazem
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar as raízes de
. Isso quer dizer que queremos encontrar os valores de
onde
, ou seja:
Para aplicar o MAS, precisamos rearranjar essa equação de forma que
esteja isolado de um lado. Vamos reescrever a equação:
No entanto, como o quadrado de
é sempre positivo e
varia entre -1 e 1, devemos considerar os valores onde
é negativo para que o lado direito da equação seja real.
Passo 3
Agora, vamos definir uma função
que será usada no método das aproximações sucessivas. Podemos escolher:
O objetivo é encontrar um ponto fixo
. Começamos com uma estimativa inicial e iteramos a função
até que a diferença entre as aproximações sucessivas seja menor ou igual a
.
Passo 4
Vamos escolher uma estimativa inicial próxima das possíveis raízes. Observando o gráfico de
, vemos que as raízes estão próximas de
. Vamos começar com
.
Aplicando o método:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Agora, repetimos o processo usando
:
Calculando
:
Então:
Verificamos a diferença:
Como
, continuamos o processo.
Passo 6
Continuando com
:
Calculando
:
Então:
Diferença:
Agora,
, então paramos aqui.
Resposta
As raízes de
encontradas pelo MAS são aproximadamente
e
, com um erro menor ou igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro
?
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de
? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de
Suponha que
seja uma função continuamente diferenciável em
contendo o ponto fixo
de
, sendo uma função de ponto fixo para a equação
. Mostre que se
, então existe um
tal que se a condição inicial
satisfizer
, então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de
(ou do ponto fixo de
).