Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de com um erro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Método das Aproximações Sucessivas (MAS) para encontrar todas as raízes da função com um erro .
Vamos precisar entender o que é o MAS, que é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de equações, e como aplicá-lo para encontrar os valores de que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar as raízes de . Isso quer dizer que queremos encontrar os valores de onde , ou seja:
Para aplicar o MAS, precisamos rearranjar essa equação de forma que esteja isolado de um lado. Vamos reescrever a equação:
No entanto, como o quadrado de é sempre positivo e varia entre -1 e 1, devemos considerar os valores onde é negativo para que o lado direito da equação seja real.

Passo 3

Agora, vamos definir uma função que será usada no método das aproximações sucessivas. Podemos escolher:
O objetivo é encontrar um ponto fixo . Começamos com uma estimativa inicial e iteramos a função até que a diferença entre as aproximações sucessivas seja menor ou igual a .

Passo 4

Vamos escolher uma estimativa inicial próxima das possíveis raízes. Observando o gráfico de , vemos que as raízes estão próximas de . Vamos começar com .
Aplicando o método:
Calculando :
Então:

Passo 5

Agora, repetimos o processo usando :
Calculando :
Então:
Verificamos a diferença:
Como , continuamos o processo.

Passo 6

Continuando com :
Calculando :
Então:
Diferença:
Agora, , então paramos aqui.

Resposta

As raízes de encontradas pelo MAS são aproximadamente e , com um erro menor ou igual a .

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Mostre que a função tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro ?
Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .
Seja . Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de ? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado .
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de ? Justifique
Suponha que seja uma função continuamente diferenciável em contendo o ponto fixo de , sendo uma função de ponto fixo para a equação . Mostre que se , então existe um tal que se a condição inicial satisfizer , então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de (ou do ponto fixo de ).