Seja f(x) = x^2 - 7.8. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
x_{n+1} = 1 / 3 ( x_{n}^{2} + 3 x_{n} - 7.8 )
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de f(x) ? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado com epsilon = 0.01.
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de f(x) ? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar uma função quadrática, que é . A gente precisa encontrar as raízes dela, que são os valores de x que fazem . Depois, tem um processo iterativo que usa uma fórmula para aproximar essas raízes. Vamos usar conceitos de métodos de aproximações sucessivas e critérios de convergência pra ver se esse processo realmente chega nas raízes que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função . Isso significa resolver a equação . Resolvendo:
Então, as raízes são aproximadamente (raiz positiva) e (raiz negativa).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o processo iterativo dado:
Esse tipo de processo é chamado de método de aproximações sucessivas ou método de ponto fixo. A ideia é começar com uma estimativa inicial ( ) e, usando essa fórmula, gerar uma sequência de valores que esperamos que se aproxime de uma das raízes da função.

Passo 4

Para saber se a sequência gerada pelo método realmente converge para a raiz negativa, vamos usar um critério de convergência. Um critério comum é verificar o valor da derivada da função de iteração no ponto fixo (neste caso, a raiz negativa). Se o valor absoluto da derivada for menor que 1 nesse ponto, então o método converge.
Primeiro, identificamos a função de iteração:
Agora, vamos calcular a derivada de g(x):

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto fixo, que é a raiz negativa :
O valor absoluto de é aproximadamente , que é menor que 1. Isso significa que, segundo o critério de convergência, a sequência gerada pelo processo iterativo converge para a raiz negativa de f(x).

Passo 6

Agora que sabemos que a sequência converge para a raiz negativa, vamos determinar esse valor usando o processo iterativo com uma precisão de . Vamos escolher um valor inicial próximo da raiz negativa, por exemplo, .
Vamos iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que .
Iteração 1:
Diferença: (maior que )
Iteração 2:
Diferença: (maior que )
Iteração 3:
Diferença: (maior que )
Continuando esse processo até que a diferença seja menor que , eventualmente chegaremos a:

Resposta

(a) Sim, a sequência converge para a raiz negativa de f(x) porque o critério de convergência (|g’(x)| < 1) é satisfeito no ponto fixo negativo.
(b) A raiz negativa é aproximadamente .
© Não, a sequência não converge para a raiz positiva de f(x), pois o critério de convergência não é satisfeito no ponto fixo positivo.

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