Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes e considere o seguinte processo iterativo:
(a) A sequência gerada pelo processo iterativo é convergente para a raiz negativa de
? Justifique usando os critérios de convergência do método das aproximações sucessivas.
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
.
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de
? Justifique
(b) Em caso afirmativo, determine a raiz negativa usando o processo dado
© A sequência gerada pelo processo acima converge para a raiz positiva de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar uma função quadrática, que é
. A gente precisa encontrar as raízes dela, que são os valores de
que fazem
. Depois, tem um processo iterativo que usa uma fórmula para aproximar essas raízes. Vamos usar conceitos de métodos de aproximações sucessivas e critérios de convergência pra ver se esse processo realmente chega nas raízes que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função
. Isso significa resolver a equação
. Resolvendo:
Então, as raízes são aproximadamente
(raiz positiva) e
(raiz negativa).
Passo 3
Agora, vamos olhar para o processo iterativo dado:
Esse tipo de processo é chamado de método de aproximações sucessivas ou método de ponto fixo. A ideia é começar com uma estimativa inicial (
) e, usando essa fórmula, gerar uma sequência de valores que esperamos que se aproxime de uma das raízes da função.
Passo 4
Para saber se a sequência gerada pelo método realmente converge para a raiz negativa, vamos usar um critério de convergência. Um critério comum é verificar o valor da derivada da função de iteração no ponto fixo (neste caso, a raiz negativa). Se o valor absoluto da derivada for menor que 1 nesse ponto, então o método converge.
Primeiro, identificamos a função de iteração:
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Vamos avaliar a derivada no ponto fixo, que é a raiz negativa
:
O valor absoluto de
é aproximadamente
, que é menor que
. Isso significa que, segundo o critério de convergência, a sequência gerada pelo processo iterativo converge para a raiz negativa de
.
Passo 6
Agora que sabemos que a sequência converge para a raiz negativa, vamos determinar esse valor usando o processo iterativo com uma precisão de
. Vamos escolher um valor inicial próximo da raiz negativa, por exemplo,
.
Vamos iterar até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
.
Iteração 1:
Diferença:
(maior que
)
Iteração 2:
Diferença:
(maior que
)
Iteração 3:
Diferença:
(maior que
)
Continuando esse processo até que a diferença seja menor que
, eventualmente chegaremos a:
Resposta
(a) Sim, a sequência converge para a raiz negativa de
porque o critério de convergência (|g’(x)| < 1) é satisfeito no ponto fixo negativo.
(b) A raiz negativa é aproximadamente .
© Não, a sequência não converge para a raiz positiva de , pois o critério de convergência não é satisfeito no ponto fixo positivo.
(b) A raiz negativa é aproximadamente
© Não, a sequência não converge para a raiz positiva de
Exercícios relacionados
Use o MAS (com as funções adequadas) para encontrar todas as raízes de
com um erro
.
Mostre que a função
tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro
?
Suponha que
seja uma função continuamente diferenciável em
contendo o ponto fixo
de
, sendo uma função de ponto fixo para a equação
. Mostre que se
, então existe um
tal que se a condição inicial
satisfizer
, então a sequência gerada pelo MAS converge para a raiz de
(ou do ponto fixo de
).
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de
.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de , determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função
tal que
na qual o processo iterativo
convirja. A condição inicial é de sua escolha.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de