Seja , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem é de cálculo multivariável. A gente precisa calcular a soma das segundas derivadas parciais de , onde , em relação a , e . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e algumas propriedades de logaritmos e funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Uma derivada parcial é a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular , e .
A função que vamos derivar é , onde . Antes de mais nada, vamos simplificar :
onde . Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então,
De forma similar, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Isto é, vamos derivar em relação a novamente:
Usando a regra do quociente:
De forma similar, temos:

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas segundas derivadas parciais:
Sabendo que , substituímos:

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é igual a , ou seja:

Exercícios relacionados

(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
Seja , calcule .
Seja , calcule .