Seja u=raizx^2+y^2+z^2, calcule partial^2(ln u)partial x^2+partial^2(ln u)partial y^2+partial^2(ln u)partial z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem é de cálculo multivariável. A gente precisa calcular a soma das segundas derivadas parciais de ln u, onde u = raizx^2 + y^2 + z^2, em relação a x, y e z. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e algumas propriedades de logaritmos e funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Uma derivada parcial é a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular partial (ln u)partial x, partial (ln u)partial y e partial (ln u)partial z.
A função que vamos derivar é ln u, onde u = raizx^2 + y^2 + z^2. Antes de mais nada, vamos simplificar u:
u = raizx^2 + y^2 + z^2 = raizr^2 = r
onde r = raizx^2 + y^2 + z^2. Então, ln u = ln r.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de ln r em relação a x. Usamos a regra da cadeia:
partial (ln r)partial x = 1r cdot partial rpartial x
Sabemos que:
partial rpartial x = xr
Então,
partial (ln r)partial x = xr^2
De forma similar, temos:
partial (ln r)partial y = yr^2 e partial (ln r)partial z = zr^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de ln r em relação a x. Isto é, vamos derivar partial (ln r)partial x = xr^2 em relação a x novamente:
partial^2 (ln r)partial x^2 = partialpartial x ( xr^2 )
Usando a regra do quociente:
partial^2 (ln r)partial x^2 = r^2 cdot 1 - x cdot 2xr^4 = r^2 - 2x^2r^4
De forma similar, temos:
partial^2 (ln r)partial y^2 = r^2 - 2y^2r^4 e partial^2 (ln r)partial z^2 = r^2 - 2z^2r^4

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas segundas derivadas parciais:
partial^2 (ln r)partial x^2 + partial^2 (ln r)partial y^2 + partial^2 (ln r)partial z^2 = r^2 - 2x^2 + r^2 - 2y^2 + r^2 - 2z^2r^4 = 3r^2 - 2(x^2 + y^2 + z^2)r^4
Sabendo que x^2 + y^2 + z^2 = r^2, substituímos:
3r^2 - 2r^2r^4 = r^2r^4 = 1r^2

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é igual a dfrac1u^2, ou seja:
partial^2(ln u)partial x^2+partial^2(ln u)partial y^2+partial^2(ln u)partial z^2 = 1u^2

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