Seja
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você tem é de cálculo multivariável. A gente precisa calcular a soma das segundas derivadas parciais de
, onde
, em relação a
,
e
. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e algumas propriedades de logaritmos e funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Uma derivada parcial é a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular
,
e
.
A função que vamos derivar é
, onde
. Antes de mais nada, vamos simplificar
:
onde
. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então,
De forma similar, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isto é, vamos derivar
em relação a
novamente:
Usando a regra do quociente:
De forma similar, temos:
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas segundas derivadas parciais:
Sabendo que
, substituímos:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é igual a
, ou seja:
Exercícios relacionados
(i) Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo das curvas indicadas, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função na curva.
(i) Mostre que a função dada é analítica em um domínio apropriado, e (ii) use as equações de Cauchy-Riemann para calcular a derivada da função no domínio.
(a)
(a)
Seja
, calcule
.
Seja
, calcule
.