Mostre que a função definida por
satisfaz a equação de onda unidimensional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação de onda unidimensional. Então, primeiro, vamos entender o que é a equação de onda e o que precisamos para resolver isso. A equação de onda descreve como ondas, como ondas sonoras ou ondas em uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para provar que nossa função
é uma solução dessa equação, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e ver se elas se encaixam na equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional, que é:
Isso significa que a segunda derivada da função
em relação ao tempo
deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação ao espaço
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a derivada ao produto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:
Passo 7
Para que a função
satisfaça a equação de onda, as duas expressões acima devem ser iguais:
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
Isso leva a:
Resposta
A igualdade
só é verdadeira se
, mas isso trivialmente anula a função
. Portanto, a função
não satisfaz a equação de onda unidimensional, a menos que seja a solução trivial
.