Mostre que a função definida por satisfaz a equação de onda unidimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação de onda unidimensional. Então, primeiro, vamos entender o que é a equação de onda e o que precisamos para resolver isso. A equação de onda descreve como ondas, como ondas sonoras ou ondas em uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para provar que nossa função é uma solução dessa equação, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e ver se elas se encaixam na equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional, que é:
Isso significa que a segunda derivada da função em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao espaço .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a derivada ao produto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:

Passo 7

Para que a função satisfaça a equação de onda, as duas expressões acima devem ser iguais:
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
Isso leva a:

Resposta

A igualdade só é verdadeira se , mas isso trivialmente anula a função . Portanto, a função não satisfaz a equação de onda unidimensional, a menos que seja a solução trivial .

Exercícios relacionados

Três ondas senoidais de mesma frequência se propagam em uma corda no sentido positivo de um eixo . As amplitudes das ondas são e e as constantes de fase são e , respectivamente.
a) Qual é a amplitude e
b) qual a constante de fase da onda resultante?
c) Plote a onda resultante no instante e discuta o comportamento da onda quando aumenta.
O que representa ?
Escreva a equação para uma onda (harmônica) que se propaga na direção negativa do eixo e tendo amplitude 0.010 m , frequência de 550 Hz e velocidade de . Calcule e explicite todos os parâmetros envolvidos na equação.
Uma onda senoidal transversa propaga, ao longo de uma mola, na direção de x positivo, com uma amplitude de 20 cm. Sabe-se que na situação em que e a posição (vertical) de um ponto da mola é e a sua velocidade tem sentido negativo. Sabe-se também que o período da onda é 4,0 s.
a) Determine a constante de fase dessa onda.
b) Determine o valor da velocidade inicial do ponto da mola.
c) Determine o valor da aceleração máxima que este ponto estará sujeito.