Mostre que a função definida por y(x, t)=A e^-B(x-v t)^2 satisfaz a equação de onda unidimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação de onda unidimensional. Então, primeiro, vamos entender o que é a equação de onda e o que precisamos para resolver isso. A equação de onda descreve como ondas, como ondas sonoras ou ondas em uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para provar que nossa função é uma solução dessa equação, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e ver se elas se encaixam na equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional, que é:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Isso significa que a segunda derivada da função em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao espaço .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partial ypartial t = A cdot (-B) cdot 2(x - vt) cdot (-v) cdot e^-B(x - vt)^2 = 2ABv(x - vt)e^-B(x - vt)^2 em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de partial^2 ypartial t^2 = 2ABv cdot partialpartial t [ (x - vt) e^-B(x - vt)^2 ] em relação a = 2ABv [ (-v) e^-B(x - vt)^2 + (x - vt) cdot (-2Bv)(x - vt) e^-B(x - vt)^2 ] :
= 2ABv [ -v e^-B(x - vt)^2 - 2Bv(x - vt)^2 e^-B(x - vt)^2 ]
Aplicando a derivada ao produto:
= -2ABv^2 e^-B(x - vt)^2 [ 1 + 2B(x - vt)^2 ]

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial ypartial x = A cdot (-B) cdot 2(x - vt) cdot e^-B(x - vt)^2 = -2AB(x - vt)e^-B(x - vt)^2 em relação a partial^2 ypartial x^2 = -2AB cdot partialpartial x [ (x - vt) e^-B(x - vt)^2 ] :
= -2AB [ e^-B(x - vt)^2 + (x - vt) cdot (-2B)(x - vt) e^-B(x - vt)^2 ]
E a segunda derivada:
= -2AB e^-B(x - vt)^2 [ 1 - 2B(x - vt)^2 ]

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:
partial^2 ypartial t^2 = -2ABv^2 e^-B(x - vt)^2 [ 1 + 2B(x - vt)^2 ]
v^2 partial^2 ypartial x^2 = v^2 [ -2AB e^-B(x - vt)^2 ( 1 - 2B(x - vt)^2 ) ] = -2ABv^2 e^-B(x - vt)^2 ( 1 - 2B(x - vt)^2 )

Passo 7

Para que a função -2ABv^2 e^-B(x - vt)^2 [ 1 + 2B(x - vt)^2 ] = -2ABv^2 e^-B(x - vt)^2 ( 1 - 2B(x - vt)^2 ) satisfaça a equação de onda, as duas expressões acima devem ser iguais:
1 + 2B(x - vt)^2 = 1 - 2B(x - vt)^2
Podemos simplificar cancelando os termos comuns:
4B(x - vt)^2 = 0
Isso leva a:

Resposta

A igualdade só é verdadeira se , mas isso trivialmente anula a função . Portanto, a função não satisfaz a equação de onda unidimensional, a menos que seja a solução trivial .

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