Três ondas senoidais de mesma frequência se propagam em uma corda no sentido positivo de um eixo x. As amplitudes das ondas são y 1, y 1 / 2 e y 1 / 3 e as constantes de fase são 0, pi / 2 e pi, respectivamente.
a) Qual é a amplitude e
b) qual a constante de fase da onda resultante?
c) Plote a onda resultante no instante t=0 e discuta o comportamento da onda quando t aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três ondas senoidais que têm a mesma frequência e estão se movendo na direção positiva do eixo . As amplitudes dessas ondas são , e , e as constantes de fase são , e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a amplitude e a constante de fase da onda resultante quando essas três ondas se combinam. Para isso, vamos usar o princípio da superposição de ondas, que nos permite somar as amplitudes considerando suas fases.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das três ondas individualmente. Uma onda senoidal pode ser representada pela equação:
yi(x, t) = Ai cdot sin(kx - omega t + phii)
Onde:
  • y1 = y1 cdot sin(kx - omega t + 0) é a amplitude da onda,
  • y2 = y12 cdot sin(kx - omega t + pi2) é o número de onda,
  • y3 = y13 cdot sin(kx - omega t + pi) é a frequência angular,
  • é a constante de fase.
Como todas as ondas têm a mesma frequência e se propagam na mesma direção, podemos simplificar e focar nas amplitudes e fases:

Passo 3

Para somar essas ondas, precisamos considerar suas amplitudes e fases. Podemos usar a fórmula de soma de senos com diferentes fases:
yresu
Vamos substituir as expressões:
yresu
Onde .

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo usando identidades trigonométricas:
sin(theta + pi2) = cos(theta)
sin(theta + pi) = -sin(theta)
Substituindo:
yresu
Vamos combinar os termos semelhantes:
yresu

Passo 5

Para expressar a onda resultante na forma A sin(theta + phi) = A sin(theta) cos(phi) + A cos(theta) sin(phi) , usamos a identidade:
2y13 sin(theta) + y12 cos(theta) = A sin(theta) cos(phi) + A cos(theta) sin(phi)
Comparando com nossa expressão:
A cos(phi) = 2y13
Assim, temos:
A sin(phi) = y12

Passo 6

Para encontrar A = raiz(A cos(phi))^2 + (A sin(phi))^2 , usamos a relação:
A = raiz(2y13)^2 + (y12)^2 = raiz4y1^29 + y1^24 = raiz16y1^2 + 9y1^236 = raiz25y1^236 = 5y16
Substituindo os valores:
tan(phi) = A sin(phi)A cos(phi) = y122y13 = 34
Para phi = arctan(34) , usamos:

Resposta

a) A amplitude da onda resultante é .
b) A constante de fase da onda resultante é .

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