(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(2)
(2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita
e precisa verificar duas coisas:
a) Mostrar que a função
atende as condições para usar o teste da integral.
b) Usar esse teste para decidir se a série converge (ou seja, tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral imprópria.
As condições para usar o teste da integral são:
- Positividade:
deve ser positiva para todo a partir de algum ponto. - Continuidade:
deve ser contínua para , onde é algum número natural. - Decrescente:
deve ser uma função decrescente para .
Vamos verificar essas condições para a nossa função
.
Passo 3
1. Positividade:
A função
é positiva porque o denominador
é sempre positivo para
.
2. Continuidade:
A função
é contínua para todo
, já que não há interrupções ou pontos de descontinuidade nesse intervalo.
3. Decrescente:
Vamos verificar se a função é decrescente. Para isso, observamos que, à medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que
diminua. Portanto,
é uma função decrescente para
.
Como todas as três condições são satisfeitas, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da integral. Precisamos calcular a integral imprópria correspondente à nossa série:
Vamos resolver essa integral para determinar se ela converge ou diverge.
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos fazer uma substituição simples:
Se
, então
.
A integral fica:
Vamos integrar:
Agora, voltando para
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral imprópria:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Como a integral
converge para
, pelo teste da integral, isso significa que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.