(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(2) sumn=1^infty 1(4+n)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisa verificar duas coisas:
a) Mostrar que a função atende as condições para usar o teste da integral.
b) Usar esse teste para decidir se a série converge (ou seja, tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o teste da integral e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral imprópria.
As condições para usar o teste da integral são:
  1. Positividade: deve ser positiva para todo a partir de algum ponto.
  2. Continuidade: deve ser contínua para , onde é algum número natural.
  3. Decrescente: deve ser uma função decrescente para .
Vamos verificar essas condições para a nossa função .

Passo 3

1. Positividade:
A função é positiva porque o denominador é sempre positivo para .
2. Continuidade:
A função é contínua para todo , já que não há interrupções ou pontos de descontinuidade nesse intervalo.
3. Decrescente:
Vamos verificar se a função é decrescente. Para isso, observamos que, à medida que aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que diminua. Portanto, é uma função decrescente para .
Como todas as três condições são satisfeitas, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da integral. Precisamos calcular a integral imprópria correspondente à nossa série:
integral1^infty 1(4+x)^3/2 , dx
Vamos resolver essa integral para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 5

Para resolver a integral integral 1u^3/2 , du = integral u^-3/2 , du , podemos fazer uma substituição simples:
Se integral u^-3/2 , du = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C = -2raizu + C , então -2raiz4+x + C .
A integral fica:
Vamos integrar:
Agora, voltando para :

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral imprópria:
integral1^infty 1(4+x)^3/2 , dx = limb to infty [ -2raiz4+x ]1^b
Calculando os limites:
Para -2raiz4+b quando b to infty, -2raiz4+b to 0 :
-2raiz4+1 = -2raiz5
Para 0 - (-2raiz5) = 2raiz5 :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Como a integral converge para , pelo teste da integral, isso significa que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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