Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela chega a um número específico) ou diverge (não chega a lugar nenhum). O conteúdo que vamos usar envolve séries geométricas e propriedades de potências. Para resolver isso, vamos simplificar o termo geral da série e ver qual critério se aplica.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a análise.
Passo 3
Vamos simplificar cada parte:
-
é o mesmo que -
podemos escrever como -
é igual a
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos combinar as potências que têm a mesma base:
Portanto, a série fica:
Isso mostra que a série é uma série geométrica com razão comum
.
Passo 5
Em uma série geométrica
, a série converge se
e diverge se
. Aqui,
, que é maior que 1.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipsoide de equação
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11)
(11)
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.