Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. sumn=1^infty 2^-3 n cdot 5^-n+1 cdot 7^2 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela chega a um número específico) ou diverge (não chega a lugar nenhum). O conteúdo que vamos usar envolve séries geométricas e propriedades de potências. Para resolver isso, vamos simplificar o termo geral da série e ver qual critério se aplica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos simplificar cada parte:
  • 2^-3n cdot 5^-n+1 cdot 7^2n+2 = 5 cdot 49 cdot (18)^n cdot (15)^n cdot 49^n é o mesmo que
  • podemos escrever como
  • é igual a
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos combinar as potências que têm a mesma base:
(18 cdot 15 cdot 49)^n = (4940)^n
Portanto, a série fica:
5 cdot 49 cdot (4940)^n = 245 cdot (4940)^n
Isso mostra que a série é uma série geométrica com razão comum .

Passo 5

Em uma série geométrica , a série converge se e diverge se . Aqui, , que é maior que 1.

Resposta

A série diverge.

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