(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11) sumn=1^infty arctg n1+n^2

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente analisar a série sumn=1^infty arctg n1+n^2. Vamos usar o Teste da Integral para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos mostrar que a função definida pelo termo geral da série é positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(n) = arctg n1+n^2. A função arctg n é positiva para todo n > 0, e 1 + n² também é sempre positiva. Então, f(n) é positiva.

Passo 3

Agora, verificamos se a função é contínua. Tanto a arctg n quanto 1 + n² são funções contínuas para todo n > 0, então f(n) também é contínua.

Passo 4

Vamos ver se a função é decrescente. Calculando a derivada de f(x) = arctg x1+x^2:
f'(x) = 11+x^2(1+x^2) - arctg x (2x)(1+x^2)^2 = 1 - 2x arctg x(1+x^2)^2
Para x >= 1, arctg x é crescente e 2x arctg x acaba superando 1, fazendo com que f'(x) < 0. Portanto, f(x) é decrescente para x >= 1.

Passo 5

Como a função f(x) é positiva, contínua e decrescente para x >= 1, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
integral1^infty arctg x1+x^2 dx
Fazendo a substituição u = arctg x, então du = 11+x^2 dx. A integral fica:
integralu= arctg 1^u= arctg infty u , du = [ u^22 ]pi4^pi2 = (pi2)^22 - (pi4)^22 = pi^28
A integral converge para pi^28.

Resposta

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty arctg n1+n^2 também converge.

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