(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11)
(11)
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente analisar a série
. Vamos usar o Teste da Integral para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos mostrar que a função definida pelo termo geral da série é positiva, contínua e decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
. A função arctg n é positiva para todo n > 0, e 1 + n² também é sempre positiva. Então,
é positiva.
Passo 3
Agora, verificamos se a função é contínua. Tanto a arctg n quanto 1 + n² são funções contínuas para todo n > 0, então
também é contínua.
Passo 4
Vamos ver se a função é decrescente. Calculando a derivada de
:
Para
,
é crescente e
acaba superando 1, fazendo com que
. Portanto,
é decrescente para
.
Passo 5
Como a função
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, então
. A integral fica:
A integral converge para
.
Resposta
Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
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