(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11)

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente analisar a série . Vamos usar o Teste da Integral para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos mostrar que a função definida pelo termo geral da série é positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função . A função arctg n é positiva para todo n > 0, e 1 + n² também é sempre positiva. Então, é positiva.

Passo 3

Agora, verificamos se a função é contínua. Tanto a arctg n quanto 1 + n² são funções contínuas para todo n > 0, então também é contínua.

Passo 4

Vamos ver se a função é decrescente. Calculando a derivada de :
Para , é crescente e acaba superando 1, fazendo com que . Portanto, é decrescente para .

Passo 5

Como a função é positiva, contínua e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , então . A integral fica:
A integral converge para .

Resposta

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série também converge.

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