Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
14 sumn=1^infty raiznn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série converge ou diverge usando um teste básico de comparação. A matéria envolvida aqui é o Teste de Comparação para Séries, que nos ajuda a determinar o comportamento de uma série comparando seus termos com os de outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito conforme tende ao infinito. Caso contrário, dizemos que diverge.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teste de Comparação. Esse teste funciona assim: se compararmos os termos da nossa série com os termos de uma série que já sabemos se converge ou diverge, podemos tirar conclusões sobre a nossa série original. Precisamos encontrar uma série comparável que seja mais simples de analisar.

Passo 4

Olhando para , vamos simplificar para facilitar a comparação. Observamos que, para grande, . Então, nosso termo se aproxima de .

Passo 5

A série é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série converges.

Passo 6

Agora, comparamos os termos:
raiznn^2+1 <= raiznn^2 = 1n^3/2
Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série convergente , pelo Teste de Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação.

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