Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se a série
converge ou diverge usando um teste básico de comparação. A matéria envolvida aqui é o Teste de Comparação para Séries, que nos ajuda a determinar o comportamento de uma série comparando seus termos com os de outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito conforme
tende ao infinito. Caso contrário, dizemos que diverge.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teste de Comparação. Esse teste funciona assim: se compararmos os termos da nossa série com os termos de uma série que já sabemos se converge ou diverge, podemos tirar conclusões sobre a nossa série original. Precisamos encontrar uma série comparável que seja mais simples de analisar.
Passo 4
Olhando para
, vamos simplificar para facilitar a comparação. Observamos que, para
grande,
. Então, nosso termo se aproxima de
.
Passo 5
A série
é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, essa série converges.
Passo 6
Agora, comparamos os termos:
Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série convergente
, pelo Teste de Comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação.