(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(9) sumn=2^infty 1n raizn^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre séries infinitas, especificamente usando o teste da integral para verificar se uma série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries, funções contínuas e decrescentes, além de saber aplicar o teste da integral. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a função sumn=2^infty 1n raizn^2-1 satisfaz as hipóteses do teste da integral.
Primeiro, o teste da integral funciona para séries da forma f(n) = 1n raizn^2-1 , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para .
Nossa série é:
Então, a função correspondente é:
Vamos verificar se atende aos critérios:
  1. Positiva: Para , e são positivos, então é positivo.
  2. Contínua: A função é contínua para (já que o denominador não é zero nesse intervalo).
  3. Decrescente: Vamos verificar se a função está diminuindo conforme aumenta. Observando o denominador, conforme cresce, também cresce, fazendo com que diminua.
Como todas as condições são atendidas, a função está pronta para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Parte (b): Aplicar o teste da integral para determinar a convergência ou divergência da série.
Vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral2^infty 1x raizx^2-1 , dx
Para resolver essa integral, faremos uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar isso claro:
  1. Substituição: Seja u^2 = x^2 - 1 implies 2u , du = 2x , dx implies u , du = x , dx . Então, elevando ao quadrado:
integral 1x cdot u cdot u , dux = integral 1x^2 , du
  1. Reescrevendo a integral: Substituindo integral 1u^2 + 1 , du = arctan(u) + C e u = raiz2^2 - 1 = raiz3 na integral:
u = raizx^2 - 1 approx x to infty implies arctan(u) to pi2
Sabemos que integral2^infty 1x raizx^2-1 , dx = [ arctan(u) ]raiz3^infty = pi2 - arctan(raiz3) , então:
pi2 - pi3 = pi6
  1. Avaliação dos limites: Voltando aos limites de integração:
    • Quando :
    • Quando tende ao infinito:
  2. Calculando a integral definida:
Sabemos que , então:

Passo 4

Conclusão do teste da integral:
Como a integral:
integral2^infty 1x raizx^2-1 , dx = pi6
converge (tem um valor finito), pelo teste da integral, a série:
sumn=2^infty 1n raizn^2-1
também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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