(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(9)
(9)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre séries infinitas, especificamente usando o teste da integral para verificar se uma série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries, funções contínuas e decrescentes, além de saber aplicar o teste da integral. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que a função
satisfaz as hipóteses do teste da integral.
Primeiro, o teste da integral funciona para séries da forma
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
.
Nossa série é:
Então, a função correspondente é:
Vamos verificar se
atende aos critérios:
-
Positiva: Para
, e são positivos, então é positivo. -
Contínua: A função
é contínua para (já que o denominador não é zero nesse intervalo). -
Decrescente: Vamos verificar se a função está diminuindo conforme
aumenta. Observando o denominador, conforme cresce, também cresce, fazendo com que diminua.
Como todas as condições são atendidas, a função
está pronta para aplicar o teste da integral.
Passo 3
Parte (b): Aplicar o teste da integral para determinar a convergência ou divergência da série.
Vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Para resolver essa integral, faremos uma substituição que simplifica a expressão. Vamos deixar isso claro:
- Substituição: Seja
. Então, elevando ao quadrado:
- Reescrevendo a integral: Substituindo
e na integral:
Sabemos que
, então:
-
Avaliação dos limites: Voltando aos limites de integração:
- Quando
: - Quando
tende ao infinito:
- Quando
-
Calculando a integral definida:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Conclusão do teste da integral:
Como a integral:
converge (tem um valor finito), pelo teste da integral, a série:
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.
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.
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c) e
.
c)