(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície
interior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície definida por
que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente integrais duplas. Vamos precisar calcular derivadas parciais e entender como configurar a integral para essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a superfície se comporta em relação a cada variável.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para calcular a área de uma superfície
. A fórmula é:
O que essa fórmula faz é somar, em cada ponto da região
, um fator que considera a inclinação da superfície em relação aos eixos
e
.
Passo 4
Substituindo as derivadas parciais que calculamos na fórmula:
Isso significa que a área da superfície é 3 vezes a área da região
.
Passo 5
A região
é o interior do cilindro
, que é um círculo de raio 1. A área de um círculo é dada por:
Resposta
Portanto, a área da porção da superfície é
.
Exercícios relacionados
(2,0 pts) Calcule a integral
onde
é uma curva arbitrária ligando os ponto
e
.
(
Identifique a superfície parametrizada por
- Esboce a superfície.
(2,0 pts) Parametrize nas variáveis
a porção da superfície
entre os planos
e
. Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.
Mostre que uma função diferenciável
decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de
.