(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície interior ao cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície definida por que está dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente integrais duplas. Vamos precisar calcular derivadas parciais e entender como configurar a integral para essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a superfície se comporta em relação a cada variável.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para calcular a área de uma superfície . A fórmula é:
O que essa fórmula faz é somar, em cada ponto da região , um fator que considera a inclinação da superfície em relação aos eixos e .

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais que calculamos na fórmula:
Isso significa que a área da superfície é 3 vezes a área da região .

Passo 5

A região é o interior do cilindro , que é um círculo de raio 1. A área de um círculo é dada por:
Á

Resposta

Portanto, a área da porção da superfície é .

Exercícios relacionados

(2,0 pts) Calcule a integral
onde é uma curva arbitrária ligando os ponto e .
( Identifique a superfície parametrizada por
  • Esboce a superfície.
(2,0 pts) Parametrize nas variáveis a porção da superfície entre os planos e . Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.
Mostre que uma função diferenciável decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de .