Mostre que a função exponencial
é uma bijeção entre a faixa infinita
e o semi-plano superior
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função exponencial
é uma bijeção entre a faixa infinita
e o semi-plano superior
. Isso envolve entender conceitos de funções bijetoras, que são funções que são ao mesmo tempo injetoras (um para um) e sobrejetoras (sobre). Vamos precisar usar propriedades da função exponencial no campo complexo e entender como ela mapeia conjuntos específicos de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo
, onde
e
são números reais, a função exponencial pode ser escrita como:
Essa forma nos ajuda a entender como
atua sobre a parte real e imaginária de
.
Passo 3
Vamos analisar o “faixa infinita”
. Isso significa que estamos considerando todos os números complexos cujo componente imaginário
está entre 0 e
. Geometricamente, isso é representado por uma faixa ou tira no plano complexo.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando aplicamos
nessa faixa. Usando a expressão que vimos anteriormente:
Aqui,
é a parte real que escala o módulo do número complexo, enquanto
está no círculo unitário, representando a direção ou o ângulo.
Passo 5
Como
está entre 0 e
,
é sempre positivo, já que o seno é positivo nesse intervalo. Ou seja, a parte imaginária de
será sempre maior que zero:
Isso mostra que a imagem de
dessa faixa está sempre no semi-plano superior
.
Passo 6
Para mostrar que
é injetora nessa faixa, precisamos verificar que se
, então
. Suponha que
e
:
Isso implica que
e
, já que
é único para cada
no intervalo
. Portanto,
é injetora nessa faixa.
Passo 7
Para a função ser sobrejetora, precisamos que todo ponto no semi-plano superior seja atingido por algum
na faixa
. Seja
com
. Podemos encontrar
, onde
está em
, garantindo que existe um
na faixa que mapeia para
.
Resposta
Assim, mostramos que a função exponencial
é uma bijeção entre a faixa infinita
e o semi-plano superior
.
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Recorde a fórmula binomial
e use-a para mostrar que
é uma função contínua em
para
.
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(j)
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