Mostre que a função
sempre pode ser escrita como
e resolva a equação
. Para que valores de x a diferença
é maior que 1?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função que combina cosseno e seno:
. O desafio é mostrar que essa função sempre pode ser escrita como
. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e entender como combinar essas funções de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer combinação linear de cosseno e seno pode ser representada como um único seno ou cosseno com uma amplitude e um deslocamento de fase. Vamos focar em escrever
como
.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica:
Comparando isso com
, temos:
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos que
e
.
Passo 5
Agora, substituímos
e
de volta na expressão
, confirmando que:
Portanto, mostramos que conseguimos reescrever a função como desejado.
Passo 6
Vamos resolver agora a equação
. Podemos reescrever isso usando a mesma ideia de combinação linear:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso acontece quando:
Resolvendo para
:
Passo 7
Para saber quando
, observamos que
. Dividindo ambos os lados por
:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores de
que satisfazem a desigualdade são:
Resposta
A função
pode sempre ser escrita como
. A equação
tem solução quando
ou
para qualquer inteiro
. Além disso, a diferença
é maior que 1 para valores de
no intervalo
, onde
é qualquer inteiro.