Mostre que a função f(x) = A cos(x) + B sen(x) sempre pode ser escrita como f(x) = D sen(x + E) e resolva a equação cos(x) - sen(x) = 1. Para que valores de x a diferença cos x - sen x é maior que 1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função que combina cosseno e seno: . O desafio é mostrar que essa função sempre pode ser escrita como . Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e entender como combinar essas funções de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer combinação linear de cosseno e seno pode ser representada como um único seno ou cosseno com uma amplitude e um deslocamento de fase. Vamos focar em escrever como .

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica:
Comparando isso com , temos:

Passo 4

Para encontrar e , usamos que e .

Passo 5

Agora, substituímos e de volta na expressão , confirmando que:
Portanto, mostramos que conseguimos reescrever a função como desejado.

Passo 6

Vamos resolver agora a equação . Podemos reescrever isso usando a mesma ideia de combinação linear:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por :
Isso acontece quando:
Resolvendo para :

Passo 7

Para saber quando , observamos que . Dividindo ambos os lados por :
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores de que satisfazem a desigualdade são:

Resposta

A função pode sempre ser escrita como . A equação tem solução quando ou para qualquer inteiro . Além disso, a diferença é maior que 1 para valores de no intervalo , onde é qualquer inteiro.

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