Mostre que a função f(x) = A cos(x) + B sen(x) sempre pode ser escrita como f(x) = D sen(x + E) e resolva a equação cos(x) + sen(x) = 1. Para que valores de x a soma cos x + sen x é maior que 1?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a função sempre pode ser escrita como . Além disso, precisamos resolver a equação e descobrir para quais valores de a soma é maior que 1. Vamos usar trigonometria e algumas identidades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar na forma . Para fazer isso, usamos a identidade trigonométrica da soma:
Comparando com , temos:
Então, podemos igualar os coeficientes:

Passo 3

Agora, para encontrar e , usamos o fato de que . Isso vem da soma dos quadrados dos coeficientes:
Para encontrar , usamos a relação:
Então,

Passo 4

Agora que temos e , podemos reescrever :
Isso mostra que pode sempre ser escrita como .

Passo 5

Agora vamos resolver a equação . Podemos usar a identidade que acabamos de derivar. Seja e , então:
Então, a equação fica:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :
Isso significa que:
Onde é um inteiro.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, para descobrir para quais valores de a soma é maior que 1, observamos que . Dividindo ambos os lados por :
Isso acontece quando:
Para algum inteiro .

Resposta

A função pode sempre ser escrita como . A equação tem soluções para ou , onde é um inteiro. A soma é maior que 1 quando está no intervalo mais múltiplos inteiros de .

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