Mostre que a função
sempre pode ser escrita como
e resolva a equação
. Para que valores de x a soma
é maior que 1?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a função
sempre pode ser escrita como
. Além disso, precisamos resolver a equação
e descobrir para quais valores de
a soma
é maior que 1. Vamos usar trigonometria e algumas identidades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar
na forma
. Para fazer isso, usamos a identidade trigonométrica da soma:
Comparando com
, temos:
Então, podemos igualar os coeficientes:
Passo 3
Agora, para encontrar
e
, usamos o fato de que
. Isso vem da soma dos quadrados dos coeficientes:
Para encontrar
, usamos a relação:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever
:
Isso mostra que
pode sempre ser escrita como
.
Passo 5
Agora vamos resolver a equação
. Podemos usar a identidade que acabamos de derivar. Seja
e
, então:
Então, a equação fica:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Isso significa que:
Onde
é um inteiro.
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, para descobrir para quais valores de
a soma
é maior que 1, observamos que
. Dividindo ambos os lados por
:
Isso acontece quando:
Para algum inteiro
.
Resposta
A função
pode sempre ser escrita como
. A equação
tem soluções para
ou
, onde
é um inteiro. A soma
é maior que 1 quando
está no intervalo
mais múltiplos inteiros de
.