Sendo
definida por
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa calcular a segunda derivada dela, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivação de integrais. Não se preocupa, vou explicar cada parte direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
, que é
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se você tem uma função definida por uma integral com limite variável, a derivada é a função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:
Aqui, simplificamos usando que a derivada da integral em relação a
é a própria integral de
de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral que obtivemos para
:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular a segunda derivada,
, que é a derivada de
:
Resposta
A segunda derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Mostre que a mediatriz de uma corda passa pelo centro do círculo.
Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, cordas equidistantes do centro são congruentes.