Sendo definida por , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa calcular a segunda derivada dela, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivação de integrais. Não se preocupa, vou explicar cada parte direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de , que é . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se você tem uma função definida por uma integral com limite variável, a derivada é a função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:
Aqui, simplificamos usando que a derivada da integral em relação a é a própria integral de de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral que obtivemos para :
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular a segunda derivada, , que é a derivada de :

Resposta

A segunda derivada de é .

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Calcule os seguintes limites:
Mostre que a mediatriz de uma corda passa pelo centro do círculo.
Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, cordas equidistantes do centro são congruentes.