Sendo f definida por f(x)=integral0^x(integral0^t(u^2+7) d u) d t, calcule f^prime prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa calcular a segunda derivada dela, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivação de integrais. Não se preocupa, vou explicar cada parte direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de f'(x) = ddx ( integral0^x ( integral0^t (u^2+7) du ) dt ) = integral0^x (u^2 + 7) du , que é . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se você tem uma função definida por uma integral com limite variável, a derivada é a função dentro da integral avaliada nesse limite. Então:
Aqui, simplificamos usando que a derivada da integral em relação a é a própria integral de de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral que obtivemos para f'(x) = integral0^x (u^2 + 7) du = integral0^x u^2 du + integral0^x 7 du :
f'(x) = [ u^33 ]0^x + [ 7u ]0^x = x^33 + 7x
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora que temos f''(x) = ddx ( x^33 + 7x ) = 3x^23 + 7 = x^2 + 7 , vamos calcular a segunda derivada, , que é a derivada de :

Resposta

A segunda derivada de é .

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