Mostre que a função
é contínua no ponto . Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular os limites laterais e comparar com o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Para , a função é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Para , a função é . Podemos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :

Passo 5

Para a função ser contínua em , precisamos que:
E vimos que todos são iguais a 6.

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

Esboço do Gráfico

Para esboçar o gráfico de :
  • Para , a função é uma reta com inclinação 2: .
  • Em , o ponto é .
  • Para , a função simplifica para , que também é uma reta, mas com inclinação 1.
As duas retas se encontram perfeitamente no ponto , confirmando a continuidade.

Exercícios relacionados

Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(ii)
Seja .
(a) Esboce o gráfico de .
Estude a continuidade das funções a seguir.
(e)
Seja .
(d) é contínua em ? Justifique.