Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular os limites laterais e comparar com o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 3^- f(x) = limx to 3^- 2x = 2 times 3 = 6 quando se aproxima de 3 pela esquerda (). Para , a função é . Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de x^2 - 9x - 3 = (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3 (para x neq 3) quando limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (x + 3) = 3 + 3 = 6 se aproxima de 3 pela direita (). Para , a função é . Podemos simplificar essa expressão:
Então:
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto f(3) = 5 times 3 - 9 = 15 - 9 = 6 :
Passo 5
Para a função ser contínua em limx to 3^- f(x) = limx to 3^+ f(x) = f(3) , precisamos que:
E vimos que todos são iguais a 6.
Resposta
Portanto, a função é contínua no ponto .
Esboço do Gráfico
Para esboçar o gráfico de :
Para , a função é uma reta com inclinação 2: .
Em , o ponto é .
Para , a função simplifica para , que também é uma reta, mas com inclinação 1.
As duas retas se encontram perfeitamente no ponto , confirmando a continuidade.