Mostre que a função
f(x)=rll 2 x, & se & x<3 5 x-9, & se & x=3 x^2-9x-3, & se & x>3
é contínua no ponto x=3. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular os limites laterais e comparar com o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 3^- f(x) = limx to 3^- 2x = 2 times 3 = 6 quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Para , a função é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de x^2 - 9x - 3 = (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3 (para x neq 3) quando limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (x + 3) = 3 + 3 = 6 se aproxima de 3 pela direita ( ). Para , a função é . Podemos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto f(3) = 5 times 3 - 9 = 15 - 9 = 6 :

Passo 5

Para a função ser contínua em limx to 3^- f(x) = limx to 3^+ f(x) = f(3) , precisamos que:
E vimos que todos são iguais a 6.

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

Esboço do Gráfico

Para esboçar o gráfico de :
  • Para , a função é uma reta com inclinação 2: .
  • Em , o ponto é .
  • Para , a função simplifica para , que também é uma reta, mas com inclinação 1.
As duas retas se encontram perfeitamente no ponto , confirmando a continuidade.

Exercícios relacionados