Mostre que a função
não é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre mostrar que a função
não é contínua no ponto
. Estamos trabalhando com limites e continuidade em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando
se aproxima de
de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se
.
Passo 3
Sabemos que
. Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Se esse limite for diferente de 0, a função não será contínua nesse ponto.
Passo 4
Para calcular o limite, vamos tentar diferentes caminhos de aproximação para
. Um método comum é escolher caminhos lineares, como
, onde
é uma constante.
Passo 5
Vamos considerar o caminho
. Substituindo na função:
Então, ao seguir esse caminho, o limite é 0.
Passo 6
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo na função:
Neste caso, o limite é 1.
Passo 7
Observamos que ao escolher diferentes caminhos, obtemos limites diferentes (0 e 1). Isso significa que o limite geral
não existe, já que depende do caminho escolhido.
Resposta
Como o limite da função
quando
se aproxima de
não é o mesmo ao seguir diferentes caminhos, e especificamente não coincide com
, concluímos que a função não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é contínua em
. Se for, tente provar por usando
e
.
Encontre
.
(g)
(g)
Mostre que a função
é contínua na origem.
Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando
.
,