Mostre que a função
f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)
não é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre mostrar que a função não é contínua no ponto . Estamos trabalhando com limites e continuidade em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando se aproxima de de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se .

Passo 3

Sabemos que . Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Se esse limite for diferente de 0, a função não será contínua nesse ponto.

Passo 4

Para calcular o limite, vamos tentar diferentes caminhos de aproximação para . Um método comum é escolher caminhos lineares, como , onde é uma constante.

Passo 5

Vamos considerar o caminho . Substituindo na função:
Então, ao seguir esse caminho, o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, . Substituindo na função:
Neste caso, o limite é 1.

Passo 7

Observamos que ao escolher diferentes caminhos, obtemos limites diferentes (0 e 1). Isso significa que o limite geral não existe, já que depende do caminho escolhido.

Resposta

Como o limite da função quando se aproxima de não é o mesmo ao seguir diferentes caminhos, e especificamente não coincide com , concluímos que a função não é contínua em .

Exercícios relacionados

Verifique se a função
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
é contínua em R^2. Se for, tente provar por usando epsilon e delta.
Encontre f.
(g) f'(x) = 2/x, x < 0, f(-1) = 7
Mostre que a função
f(x, y) = { x^2 + y^2, se x + y pertence a Q; 0, se x + y não pertence a Q }
é contínua na origem.
Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando t -> infinito.
x' = [[1, -5], [1, -3]] * x,
x(0) = (1, 1)