é contínua em . Se for, tente provar por usando e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua em todo o plano . A continuidade de uma função em dois pontos envolve checar se o limite da função quando se aproxima de qualquer ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, a gente vai precisar usar o conceito de limite e a definição de continuidade, além de aplicar o método do e para provar a continuidade no ponto específico .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função é definida de duas formas:
Para qualquer ponto diferente de , a função é .
No ponto , a função vale .
Nossa tarefa é verificar a continuidade em todo o plano. Sabemos que, fora do ponto , a função é formada por polinômios no numerador e no denominador (exceto em onde o denominador seria zero). Portanto, nesses pontos, a função é contínua porque operações com polinômios são contínuas.
Passo 3
O ponto crítico é . Precisamos verificar se:
Se esse limite for igual a zero, então a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos analisar o limite usando coordenadas polares, que é uma técnica útil para lidar com limites em duas variáveis. Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 5
Agora, observamos que:
Porque para qualquer .
Então, à medida que , . Ou seja:
Isso mostra que o limite da função quando é , que é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos formalizar a prova usando e . Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então:
Passo 7
Baseando-se na estimativa que fizemos:
E sabendo que , temos:
Passo 8
Então, para garantir que , basta escolher . Assim, se , temos:
Resposta
Sim, a função f(x, y) é contínua em R^2. Usando a definição de epsilon e delta, provamos que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a , garantindo assim a continuidade no ponto.