Verifique se a função
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
é contínua em R^2. Se for, tente provar por usando epsilon e delta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
é contínua em todo o plano R^2. A continuidade de uma função em dois pontos envolve checar se o limite da função quando (x, y) se aproxima de qualquer ponto (a, b) é igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, a gente vai precisar usar o conceito de limite e a definição de continuidade, além de aplicar o método do epsilon e delta para provar a continuidade no ponto específico (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função é definida de duas formas:
  1. Para qualquer ponto (x, y) diferente de (0,0), a função é x^3 / (x^2 + y^2).
  2. No ponto (0,0), a função vale 0.
Nossa tarefa é verificar a continuidade em todo o plano. Sabemos que, fora do ponto (0,0), a função é formada por polinômios no numerador e no denominador (exceto em (0,0) onde o denominador seria zero). Portanto, nesses pontos, a função é contínua porque operações com polinômios são contínuas.

Passo 3

O ponto crítico é (0,0). Precisamos verificar se:
Se esse limite for igual a zero, então a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos analisar o limite usando coordenadas polares, que é uma técnica útil para lidar com limites em duas variáveis. Nas coordenadas polares, temos:
Onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 5

Agora, observamos que:
Porque para qualquer theta.
Então, à medida que , . Ou seja:
Isso mostra que o limite da função quando é 0, que é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos formalizar a prova usando epsilon e delta. Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então:

Passo 7

Baseando-se na estimativa que fizemos:
E sabendo que , temos:

Passo 8

Então, para garantir que , basta escolher . Assim, se , temos:

Resposta

Sim, a função f(x, y) é contínua em R^2. Usando a definição de epsilon e delta, provamos que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a , garantindo assim a continuidade no ponto.

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Mostre que a função
f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)
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Mostre que a função
f(x, y) = { x^2 + y^2, se x + y pertence a Q; 0, se x + y não pertence a Q }
é contínua na origem.