Sejam
e
. Qual é o domínio de
? E de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio das funções
e
, onde
e
. Basicamente, domínio é o conjunto de valores de
para os quais as funções estão definidas. Vamos precisar analisar onde cada função está valendo e garantir que as operações de subtração e divisão sejam possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio de
. Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, o que está dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo isso:
Então, o domínio de
é todos os números reais maiores ou iguais a -1.
Passo 3
Agora, vamos ver o domínio de
. Essa é uma função polinomial, e polinômios são definidos para todos os números reais. Não tem restrição nenhuma aqui, então o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Passo 4
Vamos encontrar o domínio de
. Para a subtração de duas funções ser válida, ambas as funções precisam estar definidas. Ou seja, precisamos que ambas
e
existam para o mesmo valor de
.
Sabemos que:
-
está definido para -
está definido para todos os
Então, a interseção dos domínios é onde ambas estão valendo, que é
.
Passo 5
Agora, vamos para o domínio de
. Além de
e
estarem definidas,
não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.
Já sabemos que:
-
está definido para -
está definido para todos os , mas precisamos que
Vamos descobrir quando
:
Então,
quando
ou
. Mas, lembrando que
, apenas
está dentro desse intervalo.
Portanto, precisamos excluir
do domínio.
Resposta
- O domínio de
é . - O domínio de
é com .
Exercícios relacionados
Indique o domínio das seguintes funções:
.
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Teste a série para a convergência ou divergência:
Mostre que a função
possui um ponto crítico mas não extremos locais.