Sejam e . Qual é o domínio de ? E de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio das funções e , onde e . Basicamente, domínio é o conjunto de valores de para os quais as funções estão definidas. Vamos precisar analisar onde cada função está valendo e garantir que as operações de subtração e divisão sejam possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio de . Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, o que está dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo isso:
Então, o domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a -1.

Passo 3

Agora, vamos ver o domínio de . Essa é uma função polinomial, e polinômios são definidos para todos os números reais. Não tem restrição nenhuma aqui, então o domínio de é todo o conjunto dos números reais.

Passo 4

Vamos encontrar o domínio de . Para a subtração de duas funções ser válida, ambas as funções precisam estar definidas. Ou seja, precisamos que ambas e existam para o mesmo valor de .
Sabemos que:
  • está definido para
  • está definido para todos os
Então, a interseção dos domínios é onde ambas estão valendo, que é .

Passo 5

Agora, vamos para o domínio de . Além de e estarem definidas, não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.
Já sabemos que:
  • está definido para
  • está definido para todos os , mas precisamos que
Vamos descobrir quando :
Então, quando ou . Mas, lembrando que , apenas está dentro desse intervalo.
Portanto, precisamos excluir do domínio.

Resposta

  • O domínio de é .
  • O domínio de é com .

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Indique o domínio das seguintes funções: .
Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .
Teste a série para a convergência ou divergência:
Mostre que a função possui um ponto crítico mas não extremos locais.