Mostre que a função não possui extremos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela não tem extremos. Isso envolve cálculo multivariável, onde a gente analisa pontos críticos e verifica se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos todas as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos tentar resolver esse sistema de equações. Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Então, e . Temos um ponto crítico em .

Passo 6

Para determinar se esse ponto crítico é um extremo, precisamos analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
As segundas derivadas são:
Então, a matriz Hessiana é:
No ponto crítico , substituindo os valores:

Passo 7

Para verificar a natureza do ponto crítico, analisamos os autovalores da matriz Hessiana. Se houverem autovalores positivos e negativos, o ponto é de sela, o que significa que a função não tem um extremo (nem máximo nem mínimo) nesse ponto.
Calculando os autovalores de :
Resolver o determinante resulta em autovalores com sinais diferentes, confirmando que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Portanto, a função não possui extremos.

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