Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela não tem extremos. Isso envolve cálculo multivariável, onde a gente analisa pontos críticos e verifica se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
Em relação a :
E em relação a :
Passo 4
Agora, igualamos todas as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos tentar resolver esse sistema de equações. Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Então, e . Temos um ponto crítico em .
Passo 6
Para determinar se esse ponto crítico é um extremo, precisamos analisar a natureza desse ponto usando a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais da função.
As segundas derivadas são:
Então, a matriz Hessiana é:
No ponto crítico , substituindo os valores:
Passo 7
Para verificar a natureza do ponto crítico, analisamos os autovalores da matriz Hessiana. Se houverem autovalores positivos e negativos, o ponto é de sela, o que significa que a função não tem um extremo (nem máximo nem mínimo) nesse ponto.
Calculando os autovalores de :
Resolver o determinante resulta em autovalores com sinais diferentes, confirmando que o ponto é um ponto de sela.